【正文】 ),(xyf )( yxf曲線用極坐標(biāo)表示更加簡(jiǎn)單 （ 如 D為圓形、環(huán)形、 極軸 X 極點(diǎn) O ?r ),( ?? r極坐標(biāo)x y 變換公式與直角坐標(biāo)極坐標(biāo) ),(),( yxr ?如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O為極點(diǎn)， 以 x軸為極軸， 之間與直角坐標(biāo)坐標(biāo)則平面上任意一點(diǎn)的極 ),(),( yxr ?的變換公式為原點(diǎn) O x軸 ??? ? ?c osrxθry s in?用以極點(diǎn) O為中心的 一族同心圓 , AoD 設(shè)過(guò)極點(diǎn) O的射線與積分區(qū)域 D的邊界曲線的交點(diǎn) 不多于兩點(diǎn)， .),( 上連續(xù)在函數(shù) Dyxf把區(qū)域 D分成 n個(gè)小區(qū)域， 在極坐標(biāo)系下， 以及從極點(diǎn) 出發(fā)的 一族射線 , 在直角坐標(biāo)系下 ??Ddyxf ?),( ???Ddx dyyxf ),(在極坐標(biāo)系下 ??Ddyxf ?),(如何表示？ 極坐標(biāo)系下的面積微元 ?如何表示σdAoD??rr?rrr ??? ??? ????????? ????????? 22 21)(21 rrr?? ?????? 2)(21 rrr域?yàn)槠渲幸粋€(gè)典型小閉區(qū)設(shè) ?? 同時(shí)也表示該??(),小閉區(qū)域的面積 的同心圓和它由半徑分別為 rrr ??的射線所確定，和和極角分別為 ??? ??則 ,充分小時(shí)當(dāng) r?,)(21 2 ??? r略去高階無(wú)窮小量?? ???? rr得 面積微元為 ,?? r d r dd ?所以， ??Dσdyxf ),( 于是得到直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的 轉(zhuǎn)換公式 如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分？ 化為二次積分或累次積分來(lái)計(jì)算 ???Dθrθrf )s i n,c os(?rd rd??Dd xd yyxf ),( .)s i n,c os( θr dr dθrθrfD???這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為 在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分， 同樣要解決下面兩個(gè)問(wèn)題： （ 2）確定積分的上、下限 （ 1）選擇積分次序 化為二次積分或累次積分來(lái)計(jì)算 (1)若極點(diǎn) O在區(qū)域 D 之外 ),()(,: 21 θθβθα rrrD ???? 則有 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s( (2) 極點(diǎn) O在區(qū)域 D的邊界線上 ),(0 ???? rr ???? ，D: 則有 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s(x o )(2 θr)(1 θrαβx o )(θrr ?αβ.d)s i n,c o s(d )( )(21??? θθβα θθθ rr rrrrf.d)s i n,c o s(d )(0??? θβα θθθ r rrrrfD D （ 只研究 先對(duì) r后對(duì) θ的積分次序） 下面根據(jù)極點(diǎn) O與區(qū)域 D的位置分三種情況討論 (3) 若極點(diǎn) O在區(qū)域 D的內(nèi)部 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s(則有 ).(0 ,π20 θθ rr ????D: 或被積函數(shù)為 f (x2+y2)、 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征 )(?rr ?x o .d)s i n,c o s(d )(0π20 ??? θ θθθ r rrrrf利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算 . 如果積分區(qū)域 D為 圓 、 半圓 、 圓環(huán) 、 扇形域 等， D 等形式， ),( xyf )(yxf (1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分 . ① 將 代入被積函數(shù) , θθ s i n,c o s ryrx ?? ②將區(qū)域 D 的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的 積分限 . 將面積元素 dxdy 換為 . ,dd ?rr 二重積分 轉(zhuǎn)化為 二次積分 .