[理學(xué)]6-8二重積分-文庫吧
2025-01-04 14:35 本頁面
【正文】 和和極角分別為 ??? ??則 ,充分小時(shí)當(dāng) r?,)(21 2 ??? r略去高階無窮小量?? ???? rr得 面積微元為 ,?? r d r dd ?所以， ??Dσdyxf ),( 于是得到直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的 轉(zhuǎn)換公式 如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分？ 化為二次積分或累次積分來計(jì)算 ???Dθrθrf )s i n,c os(?rd rd??Dd xd yyxf ),( .)s i n,c os( θr dr dθrθrfD???這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為 在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分， 同樣要解決下面兩個(gè)問題： （ 2）確定積分的上、下限 （ 1）選擇積分次序 化為二次積分或累次積分來計(jì)算 (1)若極點(diǎn) O在區(qū)域 D 之外 ),()(,: 21 θθβθα rrrD ???? 則有 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s( (2) 極點(diǎn) O在區(qū)域 D的邊界線上 ),(0 ???? rr ???? ，D: 則有 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s(x o )(2 θr)(1 θrαβx o )(θrr ?αβ.d)s i n,c o s(d )( )(21??? θθβα θθθ rr rrrrf.d)s i n,c o s(d )(0??? θβα θθθ r rrrrfD D （ 只研究 先對(duì) r后對(duì) θ的積分次序） 下面根據(jù)極點(diǎn) O與區(qū)域 D的位置分三種情況討論 (3) 若極點(diǎn) O在區(qū)域 D的內(nèi)部 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s(則有 ).(0 ,π20 θθ rr ????D: 或被積函數(shù)為 f (x2+y2)、 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征 )(?rr ?x o .d)s i n,c o s(d )(0π20 ??? θ θθθ r rrrrf利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算 . 如果積分區(qū)域 D為 圓 、 半圓 、 圓環(huán) 、 扇形域 等， D 等形式， ),( xyf )(yxf (1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分 . ① 將 代入被積函數(shù) , θθ s i n,c o s ryrx ?? ②將區(qū)域 D 的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的 積分限 . 將面積元素 dxdy 換為 . ,dd ?rr 二重積分 轉(zhuǎn)化為 二次積分 . ??Dyxyxf dd),( .dd)s i n,c o s(???Drrrrf θθθ 二次積分 . 則 例 1 計(jì)算 其中 解 ,200:???????πθarD 故 ,dd)( 22?? ??Dyx yxe.: 222 ayxD ???? ??Dr rre θdd2?? ??Dyx yxe dd)( 22).1( 2ae ??? π 注 ：由于 的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角坐標(biāo)計(jì)算 . 2xe?x y o ? ? ?? π θ2 0 0 dd 2a r rre θπ d210202 are? ?????? ?? ?在極坐標(biāo)系下 例 2 計(jì)算二重積分 其中區(qū)域 D為由 x=0及 x2+y2=2y 圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域 . ，?? ?Dyxyx dd22解 D的邊界曲線為 x2+y2=2y， 此時(shí) D可以表示為 ,s in2 θ?r ，θθ s i n20 ,2π0 ???? r?? ?Dyxyx dd22所以?? 2π0s i n203 d31 θθr ?? 2π03 ds i n
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