[理學(xué)]6-8二重積分-全文預(yù)覽
【正文】 區(qū)域 D的邊界線上 ),(0 ???? rr ???? ，D: 則有 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s(x o )(2 θr)(1 θrαβx o )(θrr ?αβ.d)s i n,c o s(d )( )(21??? θθβα θθθ rr rrrrf.d)s i n,c o s(d )(0??? θβα θθθ r rrrrfD D （ 只研究 先對 r后對 θ的積分次序） 下面根據(jù)極點 O與區(qū)域 D的位置分三種情況討論 (3) 若極點 O在區(qū)域 D的內(nèi)部 ??Drrrrf θθθ dd)s i n,c o s(則有 ).(0 ,π20 θθ rr ????D: 或被積函數(shù)為 f (x2+y2)、 利用極坐標(biāo)計算二重積分積分特征 )(?rr ?x o .d)s i n,c o s(d )(0π20 ??? θ θθθ r rrrrf利用極坐標(biāo)常能簡化計算 . 如果積分區(qū)域 D為 圓 、 半圓 、 圓環(huán) 、 扇形域 等， D 等形式， ),( xyf )(yxf (1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分 . ① 將 代入被積函數(shù) , θθ s i n,c o s ryrx ?? ②將區(qū)域 D 的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達式，確定相應(yīng)的 積分限 . 將面積元素 dxdy 換為 . ,dd ?rr 二重積分 轉(zhuǎn)化為 二次積分 . ??Dyxyxf dd),( .dd)s i n,c o s(???Drrrrf θθθ 二次積分 . 則 例 1 計算 其中 解 ,200:???????πθarD 故 ,dd)( 22?? ??Dyx yxe.: 222 ayxD ???? ??Dr rre θdd2?? ??Dyx yxe dd)( 22).1( 2ae ??? π 注 ：由于 的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角坐標(biāo)計算 . 2xe?x y o ? ? ?? π θ2 0 0 dd 2a r rre θπ d210202 are? ?????? ?? ?在極坐標(biāo)系下 例 2 計算二重積分 其中區(qū)域 D為由 x=0及 x2+y2=2y 圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域 . ，?? ?Dyxyx dd22解 D的邊界曲線為 x2+y2=2y， 此時 D可以表示為 ,s in2 θ?r ，θθ s i n20 ,2π0 ???? r?? ?Dyxyx dd22所以?? 2π0s i n203 d31 θθr ?? 2π03 ds i n38 θθ? ??? 2π02 c osd)c os1(38 θθ2π03 c o sc o s3138?????? ?? θθx y o 其極坐標(biāo)表達式 ??? θ rrθ s i n20 22π0 dd.916??? ??Dθr d r dr?? ?Dyxyx dd22 ? ? ? ?? 2020222yy dxyxdy例 3 計算積分 .dds i n2222 π4π22??????yxyxyx積分域是圓環(huán)， .2,20 πππθ ???? r??????2222 π4π22 dds i nyxyxyx]dc o sc o s[2 π2ππ2π ???? rrrrπx y o ??? π2ππ20 ds i nd rrrθ解 D： .6 2π?????????2222 π4πd r ds i nyxθrr例 4 計算 d
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