[理學(xué)]三重積分的應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 充：利用對稱性化簡三重積分計(jì)算 使用對稱性時(shí)應(yīng)注意： １、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性； ２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的 一般地，當(dāng)積分區(qū)域 ? 關(guān)于 x o y 平面對稱，且被積函數(shù) ),( zyxf 是關(guān)于 z 的奇函數(shù)，則三重積分為零，若被積函數(shù) ),( zyxf 是關(guān)于 z 的偶函數(shù)，則三重積分為 ? 在 x o y 平面上方的半個(gè)閉區(qū)域的 三重積分的兩倍 . 奇偶性． 例 4 利用對稱性簡化計(jì)算 ??????????d x d y d zzyxzyxz1)1l n (222222 其中積分區(qū)域 }1|),{(222????? zyxzyx . 解 積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對稱， 被積函數(shù)是 的 奇函數(shù) , z.01 )1l n ( 222222???? ???????d x d y d zzyx zyxz解 2)( zyx ???)(2222 zxyzxyzyx ??????例 5 計(jì)算 ?????? d x d y d zzyx 2)( 其中 ? 是由拋物面 22 yxz ?? 和球面 2222 ??? zyx 所圍成的空間閉區(qū)域 . 其中 yzxy ? 是關(guān)于 y 的奇函數(shù) , 且 ? 關(guān)于 z o x 面對稱 , ??????? 0)( dvyzxy ,同理 ? zx 是關(guān)于 x 的奇函數(shù) , 且 ? 關(guān)于 yo z 面對稱 ,0?? ???? x z d v由對稱性知 ????????? dvydvx 22 ,則 ?? ????? d xd y d zzyxI 2)(,)2( 22?? ???? d x dy d zzx在柱面坐標(biāo)下： ,20 ???? ,10 ?? r ,2 22 rzr ????? ? ?? ???? 22 2 22220 10 )c o s2(rr dzzrrdrdI).89290(60 ???2 2 22 2 2 22 2 ,z x y z rx y z z r? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 ,r ?交線為 o y r ?故在 面的投影域?yàn)?三重積分的定義和計(jì)算 在直角坐標(biāo)系下的體積元素 dxdy dzdv ?（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分） 三、小結(jié) （ 1） 柱面坐標(biāo)的體積元素 dzr dr ddxdy dz ??（ 2） 球面坐標(biāo)的體積元素 ??? ddr drdx dy dz s i n2?（ 3） 對稱性簡化運(yùn)算 三重積分換元法 ???柱面坐標(biāo) 球面坐標(biāo) 思考題 則上的連續(xù)函數(shù)為面對稱的有界閉區(qū)域，中關(guān)于為若,),(3?? zyxfxyR?? ??? 。),()( 20 1222? ? ?? x x dzzyxfdydxC.),()( 20 221 2? ? ??xx dzzyxfdydxD一、 填空題 :1 、 若 ? 由曲面22yxz ?? 及平面 1?z 所圍成 , 則三重積分????d x d y d zzyxf ),( 化為三次積分是 _ _ __ __ __ __ __ __ _ __ __ _ __ _ .2 、 若 ? 是由曲面 0( ?? cxycz ), 12222??byax, 0?z 所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域 , 則三重積分?? ??d x d y d zzyxf ),( 可化為三次積分為 __ __ __ __ _ .3 、 若10,10,10: ??????? zyx, 則?????? d x d y d zzyx )( 可化為三次積分 __ __ __ _ __ _,其值為 ________ ____.練 習(xí) 題 4 、若 ? : 是由 ),0(,0,0 ???? hhzzx )0(2222????? aayxayx 及 所圍成 , 則三重積 分????dvzyxf ),( 可化為：(1) 次序?yàn)?xyz ?? 的三次積分 __
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