[理學(xué)]6-8二重積分(更新版)
【正文】 其極坐標(biāo)表達(dá)式 ??? θ rrθ s i n20 22π0 dd.916??? ??Dθr d r dr?? ?Dyxyx dd22 ? ? ? ?? 2020222yy dxyxdy例 3 計(jì)算積分 .dds i n2222 π4π22??????yxyxyx積分域是圓環(huán)， .2,20 πππθ ???? r??????2222 π4π22 dds i nyxyxyx]dc o sc o s[2 π2ππ2π ???? rrrrπx y o ??? π2ππ20 ds i nd rrrθ解 D： .6 2π?????????2222 π4πd r ds i nyxθrr例 4 計(jì)算 d x d yyxD)(22?? ?，其 D 為由圓 yyx 222 ?? ， yyx 422 ?? 及直線 yx 3? 0? ， 03 ?? xy 所圍成的平面閉區(qū)域 . 解 32πθ ??61πθ ???s i n4?? rd x d yyxD)( 22?? ? ? ??? ????? 36s i n4s i n22 r d rrd ).32(15 ???yyx 422 ??03 ?? yx03 ?? xyθr s in2??yyx 222 ??故 例 5 計(jì)算 , 其中 D是由不等式 所確定的區(qū)域 . ??Dy σd0,0222 ???? xyxyx 及,422 ?? yx解 極點(diǎn)在區(qū)域 D的邊界曲線上 . 曲線 的極坐標(biāo)方程為 xyx 222 ?? ,c o s2 θ?r曲線 的極坐標(biāo)方程為 422 ?? yx，2c o s2 ?? rθ因此 ,2π0 ?? θ又? ??? ? 2π02c o s22 ds i ndd???? rryD所以.2 d)c os1(s i n38 2π03 ??? ? θθθx y o θcos2?rr =2. 2?r解 因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù) , 例 6 求廣義積分 所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算。 4（ 2） 將積分區(qū)域看作 則積分限為 解 .,)( 222 圍成是由其中 xyxyDdyxD????? ??? ?Ddyx ?)( 2 ?? ??xx dyyxdx 2 )(210xxyyxdx 2)21( 2210?? ?? ??? 10 425)2521( dxxxx105227)214172( xxx ???.14033?,02 ?? xy ,02 ?? xy ,型X,10 2 ?? x ,2 xyx ??Rxyx ?? 227（ 2） 可變?yōu)? 則積分區(qū)域 D是以 如圖所示， （ 答案有誤 ）； 解 ( ,0)2R2R為圓心，以 為半徑的圓， ,)2()2( 222 RyRx ???).34(33?? ?Rx y o 于是 σdyxRD)222?? ?? ? ?? ??? 2 2c os022ππθR r drrRθdθRr c o s?? ?? ???? 22c o s02222 )(21 ππθR rRdrRθdθRrRθdππc o s02322 )(3221 22???? ??.,) 22222 圍成是由圓其中計(jì)算 RxyxDdyxRD?????? ??? ??? 22)1s i n(31 33?? ?? dR
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