在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算-文庫吧
2025-09-19 12:59 本頁面
【正文】 進一出 . 與 D的邊界曲線之 此區(qū)域為 Y― 型區(qū)域 . 注 3 線去穿區(qū)域 , y 6 注 4 同理：當(dāng)被積函數(shù)是 z=?(x,y),積分區(qū)域 D(Y― 型 12( ) ( )y x yc y d?????????即 D為 1 ( ),xy??此時 , ?(x,y)的二重積分為 先對 x再對 y的累次積分 . 21()()( , ) ( , )dycyD f x y d d y f x y d x??? ??? ? ?y=c,y=d(cd)與曲線 x O D d c 2()y?1()y?y 區(qū)域 )是 xy平面 上由直線 2 ()xy??常簡寫為 所圍成 , 7 注 5 若 D既不 是 X― 型區(qū)域也不是 Y― 型區(qū)域 ,(如圖 ), x y O 2D1D3D1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )D D D Df x y d f x y d f x y d f x y d? ? ? ?? ? ??? ?? ?? ??則可將 D分成若干個部分 ,使每個部分不是 X― 型區(qū)域 就是 Y― 型區(qū)域 , 再利用二重積分對積分區(qū)域的可加性 進行計算 . 8 注 6 綜上所述二重積分的計算就是分別對變量 x和 y 因而應(yīng)先畫出積分區(qū)域 D的圖形 ,并寫出 D的邊界方程 , 作兩次定積分的計算 . 化二重積分為二次積分的關(guān)鍵是 : “ 選擇積分次序和確定積分上、下限 ” 如何根據(jù)區(qū)域 D來確定兩次定積分的上、下限 呢 ? 再由 D的形狀找出區(qū)域 D內(nèi)點的坐標(biāo)所滿足的不等式 . 同學(xué)們會感覺困難 ! 9 特殊地 ,若區(qū)域 D是一矩形 : a≤x≤b,c≤y≤d, ( , ) ( , ) ( , )b d d ba c c aDf x y d d x f x y d y d y f x y d x? ???? ? ? ? ?x y O d c a b 即積分區(qū)域 D是一矩形時 ,其積分次序可交換 . 則二重積分 224 ( 1 ) ,DI x y d x d y? ? ???例 計算: 1 1 , 2 2 .D x y? ? ? ? ? ?其中 為矩形10 12 2212 ( 1 )I d x x y d y??? ? ???解 — — 這是先對 y再對 x的 累次積分 .同學(xué)們一 定要注意 1 2 3 2211[]3x y y y dx??? ? ??1 2128 64( 4 ) .33x dx?? ? ??21 2221 ( 1 )I d y x y d x??? ? ???或者2 3 2 1121[]3 x y x x dy??? ? ??2 228 64( 2 ) .33y dy?? ? ??要固定 x為常數(shù) . 對 y積分時 —
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