【正文】 1210???????????? ?xv 17 一質點沿半徑為 1 m 的圓周運動，運動方程為 ? =2+33t ， ? 式中以弧度計， t 以秒計，求： (1) t ＝ 2 s向加速度； (2)當加速度的方向和半徑成 45176?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢 r? 在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢 r? 及速度 v? 的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。 h1沿直線向東行駛 ， 另一小艇在其前方 以速率 2v ＝ 40km178。 1024 kg，地球中心到月球中心的距離 179。 s1，它離太陽最遠時的速率是 2v ＝ 179。 104m,1t =2179。 106s．試分別從下面兩個角度，即地球上的觀測者和 ? 介子靜止系中觀測者來判斷 ?介子能否到達地球． 解 : ? 介子在其自身靜止系中的壽命s102 60 ???t? 是固有 (本征 )時間，對地球觀測者，由于時間膨脹效應，其壽命延長了．衰變前經歷的時間為 15220 ?????cvtt ?? 這段時間飛行距離為 m9470?? tvd ? 因 m6000?d ，故該 ? 介子能到達地球． 或在 ? 介子靜止系中， ? 介子是靜止的．地球則以速度 v 接近介子，在 0t? 時間內，地球接近的距離為 m5990 ??? tvd ? m60000 ?d 經洛侖茲收縮后的值為： m3791 2200 ???? cvdd 0dd ??? ，故 ? 介子能到達地球． 313 設物體相對 S′系沿 x? 軸正向以 運動，如果 S′系相對 S 系沿 x 軸正向的速度也是 ，問物體相對 S系的速度是多少 ? 解 : 根據速度合成定理，cu ? , cvx ?? ∴ cccc cccvu uvv xxx 22??? ???? ??? 314 飛船 A 以 飛行，飛船 B 以 方向飛行．當兩飛船即將相遇時 A 飛船在自己的天窗處相隔 2s發(fā)射兩顆信號彈．在 B 飛船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少 ? 解 : 取 B 為 S 系，地球為 S? 系，自西向東為x ( x? ) 軸正向，則 A 對 S? 系的速 度cvx ?? ， S? 系對 S 系 的 速 度 為cu ? ，則 A 對 S 系 (B 船 )的速度為 ccccvu uvv xxx 9 4 2?? ???? ??? 發(fā)射彈是從 A 的 同一點發(fā)出，其時間間隔為固有時 s2??t? ， 題 314 圖 ∴ B 中測得的時間間隔為： 4 21 222??????cvttx?? 315 (1)火箭 A 和 B 分別以 速度相對地球向 +x 和 x 方向飛行．試求由火箭 B 測得 A 的速度． (2)若火箭 A 相對地球以 +y 方向運動，火箭 B 的速度不變，求 A 相對 B 的速度． 解 : (1)如圖 a ，取地球為 S 系， B 為 S? 系，則 S? 相對 S 的速度 cu ? ，火箭 A 相對 S的速度 cvx ? ，則 A 相對 S? (B )的速度為： cccc ccvcu uvvxxx 9 4 ))((1)(1 22 ?????????? 或者取 A 為 S? 系，則 cu ? ， B 相對 S 系的速度 cvx ?? ，于是 B 相對 A 的速度為： 2022614 編輯 20。 m1；定滑輪的轉動慣量是 178。 1010m 時的速率是 1v ＝ 179。 s，該力應在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度j?6? m178。 2s? ，求 t ＝ 2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解：當 s2?t 時， ????t?? 1srad?? 則 ???? ?Rv 1sm?? )( 22 ???? ?Ra n 2sm?? ???? ?? Ra 2sm?? 22222 )()( ??????? ?aaa n 112 如題 112 圖，物體 A 以相對 B 的速度v ＝ gy2 沿斜面滑動， y 為縱坐標，開始時A 在斜面頂端高為 h 處， B 物體以 u 勻速向右運動，求 A 物滑到地面時的速度． 解 ： 當 滑 至 斜 面 底 時 ， hy? ，則ghvA 2?? ,A 物運動過程中又受到 B 的牽連運動影響，因此， A 對地的速度為 2022614 編輯 5 jghighuvuv AA ?????)s i n2()c os2(39。 2022614 編輯 1 大學物理習題及解答 第一章 11 ｜ r? ｜ 與 r? 有無不同 ? tddr和 tddr有無不同 ? tddv和 tddv有無不同 ?其不同在哪里 ?試舉例說明． 解： （ 1） r? 是位移的模， ? r 是位矢的模的增量，即 r? 12 rr ?? ， 12 rrr ?? ??? ； （ 2） tddr是速度的模，即 tddr ??v tsdd. trdd 只是速度在徑向上的分量 . ∵有 rr ?r? （式中 r? 叫做單位矢），則t?r?trt dddddd rrr ?? 式中 trdd 就是速度徑向上的分量， ∴ trt dddd 與r不同如題 11 圖 所 示 . 題11圖 (3) tddv表示加速度的模，即 tva dd???， tvdd是加速度 a 在切向上的分量 . ∵有 ?? ??(v?v 表軌道節(jié)線方向單位矢），所以 tvtvtv dddddd ?? ??? ?? 式中 dtdv 就是加速度的切向分量 . ( ttr d?dd?d ???? 與的運 算較復雜，超出教材規(guī)定，故不予討論 ) 12 設質點的運動方程為 x =x (t )，y =y (t )，在計算質點的速度和加速度時，有人先求出 r＝ 22 yx ? ，然后根據 v = trdd ，及 a ＝ 22ddtr而求得結果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即 v =22dddd ????????????? tytx 及a =222222dddd ?????????????????tytx 你認為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？ 解：后一種方法正確 .因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有 jyixr ??? ?? ， jt yit xt rajtyitxtrv????????222222dddddddddddd??????? 故它們的模即為 222222222222dddddddd????????????????????????????????????tytxaaatytxvvvyxyx 而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作 22dddd t ratrv ?? 其二， 可能是將 22dddd trtr與誤作速度與加速度的模。的夾角， 求： (1)球軌道最高點的曲率半徑 1R ； (2)落地處的曲率半徑 2R ． (提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系 ) 解：設小球所作拋物線軌道如題 110圖所示． 題 110 圖 (1)在最高點， o01 60co svvv x ?? 21 sm10 ???? gan 又∵ 1211 ?van ? ∴ m1010)60c o s20( 22111?????nav? (2)在落地點， 2022 ??vv 1sm?? , 而 o60cos2 ?? gan ∴ m8060c os10 )20( 22222?????nav? 111 飛輪半徑為 m，自靜止啟動，其角加速度為 β = rad178。的初速 0v? 從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質點落地時相對拋 射時的動量的增量． 解 : 依題意作出示意圖如題 26圖 題 26圖 在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下 , 而拋物線具有對 y 軸對稱性，故末速度與 x 軸夾角亦為 o30 ，則動量的增量為 0vmvmp ??? ??? 由矢量圖知，動量增量大小為 0vm? ，方向豎直向下． 27 一質量為 m 的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出 1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時相等．求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過程中，小球的動量是 否守恒 ? 解 : 由題知，小球落地時間為 ．因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為 ggtv ?? ，小球上跳速度的大小亦為 gv ? ．設向上為 y 軸正向，則動量的增量 12 vmvmp ??? ??? 方向豎直向上， 大小 mgmvmvp ????? )( 12? 碰撞過程中動量不守恒．這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予的沖力作用．另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒． 28 作用在質量為 10 kg的物體上的力為itF ?)210( ?? N，式中 t 的單位是 s， (1)求4s 后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量． (2)為了使這力的沖量為200 N178。則由功能原理，有 ?????? ????? 37s i n2121 22 m gsmvkxsf r 222137s in21kxsfm g smvk r???? 式中 ???s ， ?x ，再代入有關數據，解得 1mN1390 ??k 題 218 圖 再次運用功能原理，求木塊彈回的高度 h? 2o 2137s in kxsmgsf r ????? 代入有關數據，得 ??s , 則木塊彈回高度 in o ???? sh 2022614 編輯 11 題 219圖 219 質量為 M 的大木塊具 有半徑為 R 的四分之一弧形槽，如題 219圖所示．質量為 m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時的速度． 解 : m 從 M 上下滑的過程中，機械能守恒，以 m ， M ，地球為系統(tǒng)，以最低點為重力勢能零點，則有 22 2121 MVmvm gR ?? 又下滑過程，動量守恒，以 m ,M 為系統(tǒng)則在 m 脫離 M 瞬間，水平方向有 0??MVmv 聯立，以上兩式，得 ? ?MmMgRv ?? 2 220 一個小球與一質量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運動方向互相垂直． 證 : 兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有 222120 212121 mvmvmv ?? 即 222120 vvv ?? ① 題 220 圖 (a) 題 220圖 (b) 又碰撞過程中，動量守恒，即有 210 vmvmvm ??? ?? 亦即 210 vvv ??? ?? ② 由②可作出矢量三角形如圖 (b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以 0v? 為斜邊，故知 1v? 與 2v? 是互相垂直的． 221 一質量為 m 的質點位 于 ( 11,yx )處，速度為 jvivv yx ??? ?? , 質點受到一個沿 x 負方向的力 f 的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用于質點上的力的力矩． 解 : 由題知，質點的位矢為 jyixr ??? 11 ?? 作用在質點上的力為