【正文】 是鐵錘作用于釘上的力， f 是木板作用于釘上的力，在 0d?t 時(shí)， f? f?? ． 設(shè)第二錘外力的功為 2A ，則同理，有 ? ??? 21 222 221dy kkyykyA ② 由題意，有 2)21( 212 kmvAA ???? ③ 即 2221 22 kkky ?? 所以， 22 ?y 于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為 cm4 1 ?????? yyy 214 設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn) (質(zhì)量為 m )在其保守力場(chǎng)中位矢為 r 點(diǎn)的勢(shì)能為 nP rkrE /)( ? , 試求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向． 解 : 1d )(d)( ???? nrnkrrErF 方向與位矢 r? 的方向相反，即指向力心． 215 一根勁度系數(shù)為 1k 的輕彈簧 A 的下端，掛一根勁度系數(shù)為 2k 的輕彈簧 B ， B 的下端 一重物 C ， C 的質(zhì)量為 M ，如題 215圖．求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì) 能之比． 解 : 彈簧 BA、 及重物 C 受力如題 215 圖所示平衡時(shí)，有 題 215 圖 MgFF BA ?? 又 11 xkFA ?? 22 xkFB ?? 所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為 1221 kkxx ??? 彈性勢(shì)能之比為 2022614 編輯 10 12222211121212 kkxkxkEEpp ???? 216 (1)試計(jì)算月球和地球?qū)?m 物體的引力相抵消的一點(diǎn) P ，距月球表面的距離是多少 ?地球質(zhì)量 179。 108m，月球質(zhì)量 179。 106m． (2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，那么它在 P 點(diǎn)的勢(shì)能為多少 ? 解 : (1) 設(shè) 在 距 月 球 中 心 為 r 處地引月引 FF ? ，由萬有引力定律，有 ? ?22 rRmMGrmMG ?? 地月 經(jīng)整理，得 RMM Mr月地月?? = 222422 ??? ? ?? 6?? 則 P 點(diǎn)處至月球表面的距離為 )( 76 ??????? 月rrh (2)質(zhì)量為 kg1 的物體在 P 點(diǎn)的引力勢(shì)能為 ? ?rRMGrMGE P ???? 地月 ? ? 7241172211 ?? ?????????? ? 6?? 217 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長(zhǎng)的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為 1m 和 2m的滑塊組成如題 217 圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為 k ，自然長(zhǎng)度等于水平距離 BC ， 2m與桌面間的摩擦系數(shù)為 ? ，最初 1m 靜止于 A點(diǎn)， AB ＝ BC ＝ h ，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下 1m ,求它下落到 B 處時(shí)的速率． 解 : 取 B 點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理，有 ])(21[)(21 212212 lkghmvmmghm ?????? ? 式中 l? 為彈簧在 A 點(diǎn)時(shí)比原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，則 hBCACl )12( ????? 聯(lián)立上述兩式，得 ? ? ? ?212221 122 mm khghmmv ? ???? ? 題 217圖 218 如題 218圖所示，一物體質(zhì)量為 2kg，以初速度 0v ＝ 3m178。則由功能原理，有 ?????? ????? 37s i n2121 22 m gsmvkxsf r 222137s in21kxsfm g smvk r???? 式中 ???s ， ?x ，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得 1mN1390 ??k 題 218 圖 再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度 h? 2o 2137s in kxsmgsf r ????? 代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ??s , 則木塊彈回高度 in o ???? sh 2022614 編輯 11 題 219圖 219 質(zhì)量為 M 的大木塊具 有半徑為 R 的四分之一弧形槽，如題 219圖所示．質(zhì)量為 m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度． 解 : m 從 M 上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以 m ， M ，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有 22 2121 MVmvm gR ?? 又下滑過程，動(dòng)量守恒，以 m ,M 為系統(tǒng)則在 m 脫離 M 瞬間，水平方向有 0??MVmv 聯(lián)立，以上兩式，得 ? ?MmMgRv ?? 2 220 一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直． 證 : 兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有 222120 212121 mvmvmv ?? 即 222120 vvv ?? ① 題 220 圖 (a) 題 220圖 (b) 又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有 210 vmvmvm ??? ?? 亦即 210 vvv ??? ?? ② 由②可作出矢量三角形如圖 (b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以 0v? 為斜邊，故知 1v? 與 2v? 是互相垂直的． 221 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)位 于 ( 11,yx )處，速度為 jvivv yx ??? ?? , 質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿 x 負(fù)方向的力 f 的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩． 解 : 由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為 jyixr ??? 11 ?? 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為 iff ?? ?? 所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為 vmrL ??? ??0 )()( 11 jvivmiyix yx ???? ???? kmvymvx xy ?)( 11 ?? 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為 kfyifjyixfrM ??????? 1110 )()( ??????? 222 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓．它離太陽最近距離為 1r ＝ 179。 104 m178。 102m178。 ) 解 : 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí) 受到太陽的引力—— 即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有 2211 mvrmvr ? ∴ 122 4102 112 ??? ????? v vrr 223 物體質(zhì)量為 3kg， t =0時(shí)位于 m4ir ??? , 1sm6 ???? jiv ??? ， 如一恒力 N5jf ??? 作用在物體上 ,求 3秒后， (1)物體動(dòng)量的變化； (2)相對(duì) z 軸角動(dòng)量的變化． 解 : (1) ? ? ??????? 30 1smkg15d5d jtjtfp ???? (2) 解 ( 一 ) 73400 ????? tvxx x jattvy y 220 ???????? 即 ir ?? 41? , jir ??? ?? 10 ?? xx vv 1133560 ?????? atvv yy 即 jiv ??? 611 ?? , jiv ??? 112 ?? 2022614 編輯 12 ∴ kjiivmrL ??????? 72)6(34111 ?????? kjijivmrL ???????? 5 4)11(3)(222 ??????? ∴ 1212 ??????? kLLL ???? 解 (二 ) ∵ dtdzM? ∴ ? ? ????? t t tFrtML 0 0 d)(d ???? ??????????????? ?????301302)4(5d5)35)216()4(2ktkttjjttit????? 題 224 圖 224 平板中央開一小孔，質(zhì)量為 m 的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為 1M 的重物．小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為 0r 時(shí)重物達(dá)到平衡．今在 1M 的下方再掛一質(zhì)量為2M 的物體，如題 224圖．試問這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度 ?? 和半徑 r? 為多少 ? 解 : 在只掛重物時(shí) 1M ，小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為 gM1 ，即 2022 ?mrgM ? ① 掛上 2M 后，則有 221 )( ? ???? rmgMM ② 重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒． 即 vmrmvr ???00 ?? ???? 2020 rr ③ 聯(lián)立①、②、③得 0211213212101010)(rMMMgmMMrMMMmrgMmrgM?????????????? 225 飛輪的質(zhì)量 m ＝ 60kg，半徑 R ＝ ，繞其水平中心軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900rev178。處． (1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速 0v的值； (2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量 ? 解 : (1)設(shè)小球的初速度為 0v ，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為 ? ，而小球的速度變?yōu)?v ，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式： mvlIlmv ?? ?0 ① 2220 212121 mvImv ?? ? ② 上兩式中 231MlI? ，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為 棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度 o30?? ，按機(jī)械能守恒定律可列式： )30c os1(221 2 ??? lMgI? ③ 由③式得 2121)231(3)30c o s1( ?????? ???????? ??? lgIM g l? 由①式 mlIvv ??? 0 ④ 由②式 2022614 編輯 15 mIvv 2202 ??? ⑤ 所以 2200 1)( 2 ?? mvmlIv ??? 求得 glm MmmMlmlIlv???????31232(6)311(2)1(2 20 ?? (2)相碰時(shí)小球受到的沖量為 ? ???? 0d mvmvmvtF 由①式求得 ?? MllImvmvtF 31d 0 ??????? glM6 )32(6 ??? 負(fù)號(hào)說明所受沖量的方向與初速度方向相反． 題 230 圖 230 一個(gè)質(zhì)量為 M、半徑為 R 并以角速度 ?轉(zhuǎn)動(dòng)著的 飛 輪 (可看作勻質(zhì)圓盤 )，在某一瞬時(shí)突然有一片質(zhì)量為 m 的碎片從輪的邊緣上飛出，見題 230圖．假定 碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上． (1)問它能升高多少 ? (2)求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能． 解 : (1)碎片離盤瞬時(shí)的線速度即是它上升的初速度 ?Rv ?0 設(shè)碎片上升高度 h 時(shí)的速度為 v ，則有 ghvv 2202 ?? 令 0?v ，可求出上升最大高度為 2220 212 ?RggvH ?? (2)圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 221MRI ? ，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2221 mRMRI ??? ，碎片脫離前，盤的角動(dòng)量為 ?I ，碎片剛脫離后，