【正文】 )20( 22222?????nav? 111 飛輪半徑為 m，自靜止啟動(dòng)，其角加速度為 β = rad178。 2s? ，求 t ＝ 2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解：當(dāng) s2?t 時(shí)， ????t?? 1srad?? 則 ???? ?Rv 1sm?? )( 22 ???? ?Ra n 2sm?? ???? ?? Ra 2sm?? 22222 )()( ??????? ?aaa n 112 如題 112 圖，物體 A 以相對(duì) B 的速度v ＝ gy2 沿斜面滑動(dòng)， y 為縱坐標(biāo)，開始時(shí)A 在斜面頂端高為 h 處， B 物體以 u 勻速向右運(yùn)動(dòng)，求 A 物滑到地面時(shí)的速度． 解 ： 當(dāng) 滑 至 斜 面 底 時(shí) ， hy? ，則ghvA 2?? ,A 物運(yùn)動(dòng)過程中又受到 B 的牽連運(yùn)動(dòng)影響，因此， A 對(duì)地的速度為 2022614 編輯 5 jghighuvuv AA ?????)s i n2()c os2(39。?? ?????地 題 112 圖 113 一船以速率 1v ＝ 30km178。 h1沿直線向東行駛 ， 另一小艇在其前方 以速率 2v ＝ 40km178。 h1 沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何 ?在艇上看船的速度又為何 ? 解： (1)大船看小艇，則有 1221 vvv ??? ?? ，依題意作速度矢量圖如題 113圖 (a) 題 113 圖 由圖可知 1222121 hkm50 ????? vvv 方向北偏西 ???? rc t a na rc t a n 21vv? (2)小船看大船，則有 2112 vvv ??? ?? ，依題意作出速度矢量圖如題 113圖 (b)，同上法，得 5012?v 1hkm?? 方向南偏東 114 當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投影后 2 m的甲板上，篷高 4 m 但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前 3 m ，如 雨滴的速度大小為 8 m178。 s1，求輪船的速率． 解： 依題意作出矢量圖如題 114 所示． 題 114 圖 ∵ 船雨雨船 vvv ??? ?? ∴ 船雨船雨 vvv ??? ?? 由圖中比例關(guān)系可知 1sm8 ???? 雨船 vv 第二章 21 一細(xì)繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為 1m 的物體，另一邊穿在質(zhì)量為 2m 的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng)．今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度 a? 下滑，求 1m ， 2m 相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩 子間的摩擦力 (繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì) )． 解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為 1a ，其對(duì)于 2m 則為牽連加速度，又知 2m對(duì)繩子的相對(duì)加速度為 a? ，故 2m 對(duì)地加速度，由圖 (b)可知，為 aaa ??? 12 ① 又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力f 在數(shù)值上等于繩的張力 T ，由牛頓定律，有 111 amTgm ?? ② 222 amgmT ?? ③ 聯(lián)立①、②、③式，得 212121121221211)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma??????????????? 討論 (1)若 0??a ，則 21 aa ? 表示柱體與繩之間無相對(duì)滑動(dòng)． (2)若 ga 2?? ，則 0??fT ，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時(shí) 1m , 2m 均作自由落體運(yùn)動(dòng)． 題 21圖 22 一個(gè)質(zhì)量為 P 的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為 ? ）上以初速度 0v 運(yùn)動(dòng)， 0v 的方 2022614 編輯 6 向與斜面底邊的水平線 AB 平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道． 解 : 物體置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N .建立坐標(biāo)：取 0v? 方向?yàn)?X 軸，平行斜面與 X 軸垂直方向?yàn)?Y 軸 .如圖 22. 題 22圖 X 方向： 0?xF tvx 0? ① Y 方向： yy mamgF ?? ?sin ② 0?t 時(shí) 0?y 0?yv 2sin21 tgy ?? 由①、②式消去 t ，得 220 sin21 xgvy ?? ? 23 質(zhì)量為 16 kg 的質(zhì)點(diǎn)在 xOy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為 xf ＝ 6 N， yf＝ 7 N，當(dāng) t ＝ 0時(shí)， ??yx 0， xv ＝ 2 m178。 s1，yv ＝ 0．求 當(dāng) t ＝ 2 s (1)位矢； (2)速度． 解： 2sm83166 ????? mfa xx 2sm167 ????? mfa yy (1) ?????????????????????20101200sm87216 7sm452832dtavvdtavvyyyxxx 于是質(zhì)點(diǎn)在 s2 時(shí)的速度 1sm8745 ????? jiv ??? (2) m874134)167(21)4832122(21)21( 220jijijtaitatvr yx?????????????????????? 24 質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力 kv (k 為常數(shù) )作用， t =0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為 0v ，證明 (1) t 時(shí)刻的速度為 v ＝tmkev )(0 ? ； (2) 由 0到 t 的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為 x ＝ ( kmv0 )［ 1 tmke )(? ］ ； (3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為 )(0 kmv ； (4)證明當(dāng) kmt? 時(shí)速度減至 0v 的 e1 ，式中 m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量． 答 : (1) ∵ tvmkva dd??? 分離變量，得 mtkvv dd ?? 即 ? ? ??vv t m tkvv0 0 dd mktevv ??lnln0 ∴ tmkevv ?? 0 (2) ? ? ?? ???? t tt mkmk ekmvtevtvx 0 00 )1(dd (3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即 t→∞， 故有 ?? ? ??? 0 00 d kmvtevx tmk (4)當(dāng) t=km 時(shí)，其速度為 evevevv kmmk 0100 ??? ??? 即速度減至 0v 的 e1 . 2022614 編輯 7 25 升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為 1m ， 2m ，且 2m ＝ 2 1m ．用細(xì)繩連接，跨過滑輪 ,繩子不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速 a ＝ 21 g 上升時(shí)，求： (1) 1m和 2m 相對(duì)升降機(jī)的加速度． (2)在地面上觀察1m ， 2m 的加速度各為多少 ? 解 : 分別以 1m , 2m 為研究 對(duì)象，其受力圖如圖 (b)所示． (1)設(shè) 2m 相對(duì)滑輪 (即升降機(jī) )的加速度為a? ，則 2m 對(duì)地加速度 aaa ???2 ；因繩不可伸長(zhǎng)，故 1m 對(duì)滑輪的加速度亦為 a? ，又 1m 在水平方向上沒有受牽連運(yùn)動(dòng)的影響，所以 1m在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?a? ，由牛頓定律，有 )(22 aamTgm ???? amT ?? 1 題 25圖 聯(lián)立，解得 ga?? 方向向下 (2) 2m 對(duì)地加速度為 22 gaaa ???? 方向向上 1m 在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即 牽相絕 aaa ??? ?? 39。 ∴ gggaaa 254 22221 ?????? aa??arctan? tan ?? ，左偏上． 26一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角 ? =30176。的初速 0v? 從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋 射時(shí)的動(dòng)量的增量． 解 : 依題意作出示意圖如題 26圖 題 26圖 在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下 , 而拋物線具有對(duì) y 軸對(duì)稱性，故末速度與 x 軸夾角亦為 o30 ，則動(dòng)量的增量為 0vmvmp ??? ??? 由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為 0vm? ，方向豎直向下． 27 一質(zhì)量為 m 的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出 1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等．求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過程中，小球的動(dòng)量是 否守恒 ? 解 : 由題知，小球落地時(shí)間為 ．因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為 ggtv ?? ，小球上跳速度的大小亦為 gv ? ．設(shè)向上為 y 軸正向，則動(dòng)量的增量 12 vmvmp ??? ??? 方向豎直向上， 大小 mgmvmvp ????? )( 12? 碰撞過程中動(dòng)量不守恒．這是因?yàn)樵谂鲎策^程中，小球受到地面給予的沖力作用．另外，碰撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說明動(dòng)量不守恒． 28 作用在質(zhì)量為 10 kg的物體上的力為itF ?)210( ?? N，式中 t 的單位是 s， (1)求4s 后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量． (2)為了使這力的沖量為200 N178。 s，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度j?6? m178。 s1的物體 ,回答這兩個(gè)問題． 解 : (1)若物體原來靜止，則 itittFp t ???? 10 401 smkg56d)210(d ???????? ? ?,沿 x 軸正向， 2022614 編輯 8 ipIimpv??????111111smkg56???????????? 若物體原來具有 6? 1sm?? 初速，則 ?? ???????? tt tFvmtmFvmpvmp 000000 d)d(, ???????于是 ? ?????? t ptFppp 0 102 d ????? , 同理， 12 vv ?? ??? , 12 II ??? 這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量 (亦即沖量 )就一定相同，這就是動(dòng)量定理． (2)同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即 ? ???? t ttttI 0 210d)210( 亦即 0202202 ??? tt 解得 s10?t ， ( s20??t 舍去 ) 29 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在 xOy 平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為 jtbitar ??? ?? s inc o s ?? 求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及 t ＝ 0 到 ??2?t點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量． 解 : 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為 )c o ss i n( jtbitamvmp ???? ??? ???? 將 0?t 和 ??2?t 分別代入上式，得 jbmp ?? ??1 , iamp ?? ???2 , 則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為 )(12 jbiampppI ?????? ??????? ? 210 一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為10 sm ??v ，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為 F =( bta? )N( ba, 為常數(shù) )，其中 t 以秒為單位： (1)假設(shè)