【文章內(nèi)容簡介】 子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長所需時(shí)間； (2)求子 彈所受的沖量． (3)求子彈的質(zhì)量． 解 : (1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有 0)( ??? btaF ,得 bat? (2)子彈所受的沖量 ? ???? t btattbtaI 0 221d)( 將 bat? 代入，得 baI 22? (3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量 020 2bvavIm ?? 211 一炮彈質(zhì)量為 m ，以速率 v 飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動(dòng)能為 T ，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的 k 倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為 v + mkT2 , v kmT2 證明 : 設(shè)一塊為 1m ，則另一塊為 2m ， 21 kmm? 及 mmm ?? 21 于是得 1,1 21 ???? k mmkkmm ① 又設(shè) 1m 的速度為 1v , 2m 的速度為 2v ，則有 2222211 212121 mvvmvmT ??? ② 2211 vmvmmv ?? ③ 聯(lián)立①、③解得 12 )1( kvvkv ??? ④ 將④代入②，并整理得 21 )(2 vvkmT ?? 于是有 kmTvv 21 ?? 將其代入④式，有 mkTvv 22 ?? 又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故 2022614 編輯 9 只能取 kmTvvmkTvv 2,2 21 ???? 證畢． 212 設(shè) N67 jiF ??? ??合 ． (1) 當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 m1643 kjir ???? ???? 時(shí)，求 F? 所作的功． (2)如果質(zhì)點(diǎn)到 r 處時(shí)需 ，試求平均功率． (3)如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 1kg，試求動(dòng)能的變化． 解 : (1)由題知， 合F? 為恒力， ∴ )1643()67( kjijirFA ??????? ????????合 J452421 ????? (2) ???? tAP (3)由動(dòng)能定理， J45???? AEk 213 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi) 1 cm，問擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速度相同． 解 : 以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn) ，向內(nèi)為 y 坐標(biāo)正向，如題 213圖，則鐵釘所受阻力為 題 213 圖 kyf ?? 第一錘外力的功為 1A ? ?? ?????? ss kykyyfyfA 101 2ddd ① 式中 f? 是鐵錘作用于釘上的力， f 是木板作用于釘上的力，在 0d?t 時(shí)， f? f?? ． 設(shè)第二錘外力的功為 2A ，則同理，有 ? ??? 21 222 221dy kkyykyA ② 由題意，有 2)21( 212 kmvAA ???? ③ 即 2221 22 kkky ?? 所以， 22 ?y 于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為 cm4 1 ?????? yyy 214 設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn) (質(zhì)量為 m )在其保守力場中位矢為 r 點(diǎn)的勢能為 nP rkrE /)( ? , 試求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向． 解 : 1d )(d)( ???? nrnkrrErF 方向與位矢 r? 的方向相反，即指向力心． 215 一根勁度系數(shù)為 1k 的輕彈簧 A 的下端，掛一根勁度系數(shù)為 2k 的輕彈簧 B ， B 的下端 一重物 C ， C 的質(zhì)量為 M ，如題 215圖．求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長量之比和彈性勢 能之比． 解 : 彈簧 BA、 及重物 C 受力如題 215 圖所示平衡時(shí)，有 題 215 圖 MgFF BA ?? 又 11 xkFA ?? 22 xkFB ?? 所以靜止時(shí)兩彈簧伸長量之比為 1221 kkxx ??? 彈性勢能之比為 2022614 編輯 10 12222211121212 kkxkxkEEpp ???? 216 (1)試計(jì)算月球和地球?qū)?m 物體的引力相抵消的一點(diǎn) P ，距月球表面的距離是多少 ?地球質(zhì)量 179。 1024 kg，地球中心到月球中心的距離 179。 108m，月球質(zhì)量 179。1022kg，月球半徑 179。 106m． (2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢能為零，那么它在 P 點(diǎn)的勢能為多少 ? 解 : (1) 設(shè) 在 距 月 球 中 心 為 r 處地引月引 FF ? ，由萬有引力定律，有 ? ?22 rRmMGrmMG ?? 地月 經(jīng)整理，得 RMM Mr月地月?? = 222422 ??? ? ?? 6?? 則 P 點(diǎn)處至月球表面的距離為 )( 76 ??????? 月rrh (2)質(zhì)量為 kg1 的物體在 P 點(diǎn)的引力勢能為 ? ?rRMGrMGE P ???? 地月 ? ? 7241172211 ?? ?????????? ? 6?? 217 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為 1m 和 2m的滑塊組成如題 217 圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為 k ，自然長度等于水平距離 BC ， 2m與桌面間的摩擦系數(shù)為 ? ，最初 1m 靜止于 A點(diǎn)， AB ＝ BC ＝ h ，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下 1m ,求它下落到 B 處時(shí)的速率． 解 : 取 B 點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，則由功能原理，有 ])(21[)(21 212212 lkghmvmmghm ?????? ? 式中 l? 為彈簧在 A 點(diǎn)時(shí)比原長的伸長量，則 hBCACl )12( ????? 聯(lián)立上述兩式，得 ? ? ? ?212221 122 mm khghmmv ? ???? ? 題 217圖 218 如題 218圖所示，一物體質(zhì)量為 2kg，以初速度 0v ＝ 3m178。 s1從斜面 A 點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為 8N，到達(dá) B 點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度． 解 : 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原 長處為彈性勢能零點(diǎn)。則由功能原理，有 ?????? ????? 37s i n2121 22 m gsmvkxsf r 222137s in21kxsfm g smvk r???? 式中 ???s ， ?x ，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得 1mN1390 ??k 題 218 圖 再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度 h? 2o 2137s in kxsmgsf r ????? 代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ??s , 則木塊彈回高度 in o ???? sh 2022614 編輯 11 題 219圖 219 質(zhì)量為 M 的大木塊具 有半徑為 R 的四分之一弧形槽，如題 219圖所示．質(zhì)量為 m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度． 解 : m 從 M 上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以 m ， M ，地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，則有 22 2121 MVmvm gR ?? 又下滑過程，動(dòng)量守恒，以 m ,M 為系統(tǒng)則在 m 脫離 M 瞬間，水平方向有 0??MVmv 聯(lián)立，以上兩式，得 ? ?MmMgRv ?? 2 220 一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直． 證 : 兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有 222120 212121 mvmvmv ?? 即 222120 vvv ?? ① 題 220 圖 (a) 題 220圖 (b) 又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有 210 vmvmvm ??? ?? 亦即 210 vvv ??? ?? ② 由②可作出矢量三角形如圖 (b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以 0v? 為斜邊，故知 1v? 與 2v? 是互相垂直的． 221 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)位 于 ( 11,yx )處，速度為 jvivv yx ??? ?? , 質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿 x 負(fù)方向的力 f 的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩． 解 : 由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為 jyixr ??? 11 ?? 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為 iff ?? ?? 所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為 vmrL ??? ??0 )()( 11 jvivmiyix yx ???? ???? kmvymvx xy ?)( 11 ?? 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為 kfyifjyixfrM ??????? 1110 )()( ??????? 222 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓．它離太陽最近距離為 1r ＝ 179。 1010m 時(shí)的速率是 1v ＝ 179。 104 m178。 s1，它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是 2v ＝ 179。 102m178。 s1它離太陽的距離 2r 多少 ?(太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。 ) 解 : 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí) 受到太陽的引力—— 即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有 2211 mvrmvr ? ∴ 122 4102 112 ??? ????? v vrr 223 物體質(zhì)量為 3kg， t =0時(shí)位于 m4ir ??? , 1sm6 ???? jiv ??? ， 如一恒力 N5jf ??? 作用在物體上 ,求 3秒后， (1)物體動(dòng)量的變化； (2)相對(duì) z 軸角動(dòng)量的變化． 解 : (1) ? ? ??????? 30 1smkg15d5d jtjtfp ???? (2) 解 ( 一 ) 73400 ????? tvxx x jattvy y 220 ???????? 即 ir ?? 41? , jir ??? ?? 10 ?? xx vv 1133560 ?????? atvv yy 即 jiv ??? 611 ?? , jiv ??? 112 ?? 2022614 編輯 12 ∴ kjiivmrL ??????? 72)6(34111 ?????? kjijivmrL ???????? 5 4)11(3)(222 ??????? ∴ 1212 ??????? kLLL ???? 解 (二 ) ∵ dtdzM? ∴ ? ? ????? t t tFrtML 0 0 d)(d ???? ??????????????? ?????301302)4(5d5)35)216()4(2ktkttjjttit????? 題 224 圖 224 平板中央開一小孔，質(zhì)量為 m 的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為 1M 的重物．小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為 0r 時(shí)重物達(dá)到平衡．今在 1M 的下方再掛一質(zhì)量為