【正文】 t , 50?x ,∴ 52?c 故 5212 32 ??? ttx 所以 s10?t 時 m70551021102sm190102310432101210???????????? ?xv 17 一質點沿半徑為 1 m 的圓周運動，運動方程為 ? =2+33t ， ? 式中以弧度計， t 以秒計，求： (1) t ＝ 2 s向加速度； (2)當加速度的方向和半徑成 45176。的夾角， 求： (1)球軌道最高點的曲率半徑 1R ； (2)落地處的曲率半徑 2R ． (提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系 ) 解：設小球所作拋物線軌道如題 110圖所示． 題 110 圖 (1)在最高點， o01 60co svvv x ?? 21 sm10 ???? gan 又∵ 1211 ?van ? ∴ m1010)60c o s20( 22111?????nav? (2)在落地點， 2022 ??vv 1sm?? , 而 o60cos2 ?? gan ∴ m8060c os10 )20( 22222?????nav? 111 飛輪半徑為 m，自靜止啟動，其角加速度為 β = rad178。?? ?????地 題 112 圖 113 一船以速率 1v ＝ 30km178。 h1 沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何 ?在艇上看船的速度又為何 ? 解： (1)大船看小艇，則有 1221 vvv ??? ?? ，依題意作速度矢量圖如題 113圖 (a) 題 113 圖 由圖可知 1222121 hkm50 ????? vvv 方向北偏西 ???? rc t a na rc t a n 21vv? (2)小船看大船，則有 2112 vvv ??? ?? ，依題意作出速度矢量圖如題 113圖 (b)，同上法，得 5012?v 1hkm?? 方向南偏東 114 當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后 2 m的甲板上，篷高 4 m 但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前 3 m ，如 雨滴的速度大小為 8 m178。 s1，yv ＝ 0．求 當 t ＝ 2 s (1)位矢； (2)速度． 解： 2sm83166 ????? mfa xx 2sm167 ????? mfa yy (1) ?????????????????????20101200sm87216 7sm452832dtavvdtavvyyyxxx 于是質點在 s2 時的速度 1sm8745 ????? jiv ??? (2) m874134)167(21)4832122(21)21( 220jijijtaitatvr yx?????????????????????? 24 質點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力 kv (k 為常數(shù) )作用， t =0時質點的速度為 0v ，證明 (1) t 時刻的速度為 v ＝tmkev )(0 ? ； (2) 由 0到 t 的時間內經(jīng)過的距離為 x ＝ ( kmv0 )［ 1 tmke )(? ］ ； (3)停止運動前經(jīng)過的距離為 )(0 kmv ； (4)證明當 kmt? 時速度減至 0v 的 e1 ，式中 m為質點的質量． 答 : (1) ∵ tvmkva dd??? 分離變量，得 mtkvv dd ?? 即 ? ? ??vv t m tkvv0 0 dd mktevv ??lnln0 ∴ tmkevv ?? 0 (2) ? ? ?? ???? t tt mkmk ekmvtevtvx 0 00 )1(dd (3)質點停止運動時速度為零，即 t→∞， 故有 ?? ? ??? 0 00 d kmvtevx tmk (4)當 t=km 時，其速度為 evevevv kmmk 0100 ??? ??? 即速度減至 0v 的 e1 . 2022614 編輯 7 25 升降機內有兩物體，質量分別為 1m ， 2m ，且 2m ＝ 2 1m ．用細繩連接，跨過滑輪 ,繩子不可伸長，滑輪質量及一切摩擦都忽略不計，當升降機以勻加速 a ＝ 21 g 上升時，求： (1) 1m和 2m 相對升降機的加速度． (2)在地面上觀察1m ， 2m 的加速度各為多少 ? 解 : 分別以 1m , 2m 為研究 對象，其受力圖如圖 (b)所示． (1)設 2m 相對滑輪 (即升降機 )的加速度為a? ，則 2m 對地加速度 aaa ???2 ；因繩不可伸長，故 1m 對滑輪的加速度亦為 a? ，又 1m 在水平方向上沒有受牽連運動的影響，所以 1m在水平方向對地加速度亦為 a? ，由牛頓定律，有 )(22 aamTgm ???? amT ?? 1 題 25圖 聯(lián)立，解得 ga?? 方向向下 (2) 2m 對地加速度為 22 gaaa ???? 方向向上 1m 在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即 牽相絕 aaa ??? ?? 39。的初速 0v? 從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質點落地時相對拋 射時的動量的增量． 解 : 依題意作出示意圖如題 26圖 題 26圖 在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下 , 而拋物線具有對 y 軸對稱性，故末速度與 x 軸夾角亦為 o30 ，則動量的增量為 0vmvmp ??? ??? 由矢量圖知，動量增量大小為 0vm? ，方向豎直向下． 27 一質量為 m 的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出 1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時相等．求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過程中，小球的動量是 否守恒 ? 解 : 由題知，小球落地時間為 ．因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為 ggtv ?? ，小球上跳速度的大小亦為 gv ? ．設向上為 y 軸正向，則動量的增量 12 vmvmp ??? ??? 方向豎直向上， 大小 mgmvmvp ????? )( 12? 碰撞過程中動量不守恒．這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予的沖力作用．另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒． 28 作用在質量為 10 kg的物體上的力為itF ?)210( ?? N，式中 t 的單位是 s， (1)求4s 后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量． (2)為了使這力的沖量為200 N178。 s1的物體 ,回答這兩個問題． 解 : (1)若物體原來靜止，則 itittFp t ???? 10 401 smkg56d)210(d ???????? ? ?,沿 x 軸正向， 2022614 編輯 8 ipIimpv??????111111smkg56???????????? 若物體原來具有 6? 1sm?? 初速，則 ?? ???????? tt tFvmtmFvmpvmp 000000 d)d(, ???????于是 ? ?????? t ptFppp 0 102 d ????? , 同理， 12 vv ?? ??? , 12 II ??? 這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量 (亦即沖量 )就一定相同，這就是動量定理． (2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即 ? ???? t ttttI 0 210d)210( 亦即 0202202 ??? tt 解得 s10?t ， ( s20??t 舍去 ) 29 一質量為 m 的質點在 xOy 平面上運動，其位置矢量為 jtbitar ??? ?? s inc o s ?? 求質點的動量及 t ＝ 0 到 ??2?t點所受的合力的沖量和質點動量的改變量． 解 : 質點的動量為 )c o ss i n( jtbitamvmp ???? ??? ???? 將 0?t 和 ??2?t 分別代入上式，得 jbmp ?? ??1 , iamp ?? ???2 , 則動量的增量亦即質點所受外力的沖量為 )(12 jbiampppI ?????? ??????? ? 210 一顆子彈由槍口射出時速率為10 sm ??v ，當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為 F =( bta? )N( ba, 為常數(shù) )，其中 t 以秒為單位： (1)假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間； (2)求子 彈所受的沖量． (3)求子彈的質量． 解 : (1)由題意，子彈到槍口時，有 0)( ??? btaF ,得 bat? (2)子彈所受的沖量 ? ???? t btattbtaI 0 221d)( 將 bat? 代入，得 baI 22? (3)由動量定理可求得子彈的質量 020 2bvavIm ?? 211 一炮彈質量為 m ，以速率 v 飛行，其內部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為 T ，且一塊的質量為另一塊質量的 k 倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為 v + mkT2 , v kmT2 證明 : 設一塊為 1m ，則另一塊為 2m ， 21 kmm? 及 mmm ?? 21 于是得 1,1 21 ???? k mmkkmm ① 又設 1m 的速度為 1v , 2m 的速度為 2v ，則有 2222211 212121 mvvmvmT ??? ② 2211 vmvmmv ?? ③ 聯(lián)立①、③解得 12 )1( kvvkv ??? ④ 將④代入②，并整理得 21 )(2 vvkmT ?? 于是有 kmTvv 21 ?? 將其代入④式，有 mkTvv 22 ?? 又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故 2022614 編輯 9 只能取 kmTvvmkTvv 2,2 21 ???? 證畢． 212 設 N67 jiF ??? ??合 ． (1) 當一質點從原點運動到 m1643 kjir ???? ???? 時，求 F? 所作的功． (2)如果質點到 r 處時需 ，試求平均功率． (3)如果質點的質量為 1kg，試求動能的變化． 解 : (1)由題知， 合F? 為恒力， ∴ )1643()67( kjijirFA ??????? ????????合 J452421 ????? (2) ???? tAP (3)由動能定理， J45???? AEk 213 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板內的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內 1 cm，問擊第二次時能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同． 解 : 以木板上界面為坐標原點 ，向內為 y 坐標正向，如題 213圖，則鐵釘所受阻力為 題 213 圖 kyf ?? 第一錘外力的功為 1A ? ?? ?????? ss kykyyfyfA 101 2ddd ① 式中 f?