【正文】 0?y 0?yv 2sin21 tgy ?? 由①、②式消去 t ，得 220 sin21 xgvy ?? ? 23 質(zhì)量為 16 kg 的質(zhì)點(diǎn)在 xOy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為 xf ＝ 6 N， yf＝ 7 N，當(dāng) t ＝ 0時(shí)， ??yx 0， xv ＝ 2 m178。 h1沿直線向東行駛 ， 另一小艇在其前方 以速率 2v ＝ 40km178。 2s? ，求 t ＝ 2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解：當(dāng) s2?t 時(shí)， ????t?? 1srad?? 則 ???? ?Rv 1sm?? )( 22 ???? ?Ra n 2sm?? ???? ?? Ra 2sm?? 22222 )()( ??????? ?aaa n 112 如題 112 圖，物體 A 以相對(duì) B 的速度v ＝ gy2 沿斜面滑動(dòng)， y 為縱坐標(biāo)，開始時(shí)A 在斜面頂端高為 h 處， B 物體以 u 勻速向右運(yùn)動(dòng)，求 A 物滑到地面時(shí)的速度． 解 ： 當(dāng) 滑 至 斜 面 底 時(shí) ， hy? ，則ghvA 2?? ,A 物運(yùn)動(dòng)過程中又受到 B 的牽連運(yùn)動(dòng)影響，因此， A 對(duì)地的速度為 2022614 編輯 5 jghighuvuv AA ?????)s i n2()c os2(39。角時(shí)，其角位移是多少 ? 解： tttt 18dd,9dd 2 ???? ???? (1) s2?t 時(shí)， 2sm362181 ??????? ?? Ra 2222 sm1296)29(1 ??????? ?Ra n (2)當(dāng)加速度方向與半徑成 ο45 角時(shí)，有145tan ??? naa? 即 ?? RR ?2 亦即 tt 18)9( 22 ? 則解得 923?t 于是角位移為ra 3 ?????? t? 18 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 R 的圓周按 s ＝20 21bttv ? 的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中 s 為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧長 ,0v ， b 都是常量，求： (1)t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度； (2) t 為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于 b ． 解 ： （ 1 ） btvtsv ??? 0dd RbtvRvabtvan202 )(dd??????? 則 240222 )(R btvbaaa n ????? ? 加速度與半徑的夾角為 20 )(a rc t a n btv Rbaa n ???? ?? (2)由題意應(yīng)有 2402 )(R btvbba ???? 即 0)(,)( 402 4022 ?????? btvR btvbb 2022614 編輯 4 )s in(s in2c o s2s in200tRtRRtvRtvx???????????∴當(dāng) bvt 0? 時(shí)， ba? 19 半徑為 R 的輪子，以勻速 0v 沿水平線向前滾動(dòng)： (1)證明輪緣上任意點(diǎn) B 的運(yùn)動(dòng)方程為 x ＝ R )sin( tt ?? ? ， y ＝R )cos1( t?? ，式中 0v?? /R 是輪子滾動(dòng)的角速度，當(dāng) B 與水平線接觸的瞬間開始計(jì)時(shí)．此時(shí) B 所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)?x 軸正方向； (2)求 B 點(diǎn)速度和加速度的分量表示式． 解：依題意作出下圖，由圖可知 題 19圖 (1) )c o s1()c o s1( 2s in2s in2tRRRy????????? (2) ????????????)s indd)c o s1(ddtRtyvtRtxvyx??? ???????????tvtRatvtRayyxxddc osdds in22???? 110 以初速度 0v ＝ 20 1sm?? 拋出一小球，拋出方向與水平面成幔 60176。 14 在離水面高 h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸 S處，如題 14圖所示．當(dāng)人以 0v (m178?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢 r? 在徑向（即量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒有考慮位矢 r? 及速度 v? 的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速度的貢獻(xiàn)。 2022614 編輯 1 大學(xué)物理習(xí)題及解答 第一章 11 ｜ r? ｜ 與 r? 有無不同 ? tddr和 tddr有無不同 ? tddv和 tddv有無不同 ?其不同在哪里 ?試舉例說明． 解： （ 1） r? 是位移的模， ? r 是位矢的模的增量，即 r? 12 rr ?? ， 12 rrr ?? ??? ； （ 2） tddr是速度的模，即 tddr ??v tsdd. trdd 只是速度在徑向上的分量 . ∵有 rr ?r? （式中 r? 叫做單位矢），則t?r?trt dddddd rrr ?? 式中 trdd 就是速度徑向上的分量， ∴ trt dddd 與r不同如題 11 圖 所 示 . 題11圖 (3) tddv表示加速度的模，即 tva dd???， tvdd是加速度 a 在切向上的分量 . ∵有 ?? ??(v?v 表軌道節(jié)線方向單位矢），所以 tvtvtv dddddd ?? ??? ?? 式中 dtdv 就是加速度的切向分量 . ( ttr d?dd?d ???? 與的運(yùn) 算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論 ) 12 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 x =x (t )，y =y (t )，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求出 r＝ 22 yx ? ，然后根據(jù) v = trdd ，及 a ＝ 22ddtr而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 v =22dddd ????????????? tytx 及a =222222dddd ?????????????????tytx 你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？ 解：后一種方法正確 .因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有 jyixr ??? ?? ， jt yit xt rajtyitxtrv????????222222dddddddddddd??????? 故它們的模即為 222222222222dddddddd????????????????????????????????????tytxaaatytxvvvyxyx 而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作 22dddd t ratrv ?? 其二， 可能是將 22dddd trtr與誤作速度與加速度的模。在 11題中已說明 trdd 不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣， 22ddtr也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分 ???????? ????????222dddd trt ra ?徑 。 13 一質(zhì)點(diǎn)在 xOy 平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為 2022614 編輯 2 x =3t +5, y =21 t 2+3t 4. 式中 t 以 s計(jì)， x ,y 以 m計(jì)． (1)以時(shí)間 t 為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式； (2)求出t =1 s 時(shí)刻和 t ＝ 2s 時(shí)刻的位置矢量， 計(jì)算這 1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移； (3)計(jì)算 t ＝ 0 s時(shí)刻到t ＝ 4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度； (4)求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算 t ＝ 4 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度； (5)計(jì)算 t ＝ 0s 到 t ＝ 4s 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；(6)求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算 t ＝4s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度 (請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式 )． 解：（ 1） jttitr ??? )4321()53( 2 ????? m (2)將 1?t , 2?t 代入上式即有 m jjr ??? 4112 ?? m jir ??? ?? jjrrr ????? ????? m (3) ∵ jirjjr ?????? 1617,45 40 ???? ∴ 104 sm534 202204 ???????????? jijirrtrv ???????? (4) 1sm)3(3dd ?????? jtitrv ???? 則 jiv ??? 734 ?? 1sm?? (5) ∵ jivjiv ?????? 73,33 40 ???? 204 sm1444 ????????? jvvtva ????? (6) 2sm1dd ???? jtva ??? 這說明該點(diǎn)只有 y 方向的加速度，且為恒量。 1?s )的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小． 圖14 解： 設(shè)人到船之間繩的長度為 l ，此時(shí)繩與水面成 ? 角，由圖可知 222 shl ?? 將上式對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，得 tsstll dd2dd2 ? 題 14圖 根據(jù)速度的定義，并注意到 l ,s 是隨 t 減少的， ∴ tsvvtlv dd,dd 0 ????? 船繩 即 ?c osdddd 00 vvsltlsltsv ??????船 或 s vshslvv 02/1220 )( ???船 將 船v 再對(duì) t 求導(dǎo)，即得船的加速度 3202220202002)(ddddddsvhsvslsvslvsvvstsltlstva?????????? 船船 15 質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為 a ＝ 2+6 2x ， a 的單位為 2sm?? ， x 的單位為 m. 質(zhì)點(diǎn)在 x ＝ 0處，速度為 10 1sm?? ,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值． 解： ∵ 2022614 編輯 3 xvvtxxvtva dddddddd ??? 分離變量： xxadx d)62(d 2????? 兩邊積分得 cxxv ??? 32 2221 由題知， 0?x 時(shí)， 100?v ,∴ 50?c ∴ 13 sm252 ????? xxv 16 已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為 a＝ 4+3t 2sm?? ， 開始運(yùn)動(dòng)時(shí)， x ＝ 5 m， v =0，求該質(zhì)點(diǎn)在 t ＝ 10s 時(shí)的速度和位置． 解：∵ ttva 34dd ??? 分離變量，得 ttv d)34(d ?? 積分，得 12234 cttv ??? 由題知， 0?t , 00?v ,∴ 01?c 故 2234 ttv ?? 又因?yàn)? 2234dd tttxv ??? 分離變量， tttx d)234(d 2?? 積分得 232 212 cttx ??? 由題知 0?