【正文】 106s．試分別從下面兩個(gè)角度，即地球上的觀測(cè)者和 ? 介子靜止系中觀測(cè)者來判斷 ?介子能否到達(dá)地球． 解 : ? 介子在其自身靜止系中的壽命s102 60 ???t? 是固有 (本征 )時(shí)間，對(duì)地球觀測(cè)者，由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其壽命延長(zhǎng)了．衰變前經(jīng)歷的時(shí)間為 15220 ?????cvtt ?? 這段時(shí)間飛行距離為 m9470?? tvd ? 因 m6000?d ，故該 ? 介子能到達(dá)地球． 或在 ? 介子靜止系中， ? 介子是靜止的．地球則以速度 v 接近介子，在 0t? 時(shí)間內(nèi)，地球接近的距離為 m5990 ??? tvd ? m60000 ?d 經(jīng)洛侖茲收縮后的值為： m3791 2200 ???? cvdd 0dd ??? ，故 ? 介子能到達(dá)地球． 313 設(shè)物體相對(duì) S′系沿 x? 軸正向以 運(yùn)動(dòng)，如果 S′系相對(duì) S 系沿 x 軸正向的速度也是 ，問物體相對(duì) S系的速度是多少 ? 解 : 根據(jù)速度合成定理，cu ? , cvx ?? ∴ cccc cccvu uvv xxx 22??? ???? ??? 314 飛船 A 以 飛行，飛船 B 以 方向飛行．當(dāng)兩飛船即將相遇時(shí) A 飛船在自己的天窗處相隔 2s發(fā)射兩顆信號(hào)彈．在 B 飛船的觀測(cè)者測(cè)得兩顆信號(hào)彈相隔的時(shí)間間隔為多少 ? 解 : 取 B 為 S 系，地球?yàn)?S? 系，自西向東為x ( x? ) 軸正向，則 A 對(duì) S? 系的速 度cvx ?? ， S? 系對(duì) S 系 的 速 度 為cu ? ，則 A 對(duì) S 系 (B 船 )的速度為 ccccvu uvv xxx 9 4 2?? ???? ??? 發(fā)射彈是從 A 的 同一點(diǎn)發(fā)出，其時(shí)間間隔為固有時(shí) s2??t? ， 題 314 圖 ∴ B 中測(cè)得的時(shí)間間隔為： 4 21 222??????cvttx?? 315 (1)火箭 A 和 B 分別以 速度相對(duì)地球向 +x 和 x 方向飛行．試求由火箭 B 測(cè)得 A 的速度． (2)若火箭 A 相對(duì)地球以 +y 方向運(yùn)動(dòng)，火箭 B 的速度不變，求 A 相對(duì) B 的速度． 解 : (1)如圖 a ，取地球?yàn)?S 系， B 為 S? 系，則 S? 相對(duì) S 的速度 cu ? ，火箭 A 相對(duì) S的速度 cvx ? ，則 A 相對(duì) S? (B )的速度為： cccc ccvcu uvvxxx 9 4 ))((1)(1 22 ?????????? 或者取 A 為 S? 系，則 cu ? ， B 相對(duì) S 系的速度 cvx ?? ，于是 B 相對(duì) A 的速度為： 2022614 編輯 20。? =30176。104m,2t =1179。 104m,1t =2179。 m1；定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 178。 min1．現(xiàn)利用一制動(dòng) 的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力 F ，可使飛輪減速．已知閘桿的尺寸如題 225圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù) ? =，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算．試求： (1)設(shè) F ＝ 100 N，問可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng) ?在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn) ? (2)如果在 2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力 F ? 解 : (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖 (如圖(b))．圖中 N 、 N? 是正壓力， rF 、 rF? 是摩擦力， xF 和 yF 是桿在 A 點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力， R 是輪的重力， P 是輪在 O 軸處所受支承力． 題 225 圖（ a） 題 225 圖 (b) 桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì) A 點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有 Fl llNlNllF 1 21121 0)( ??????? 對(duì)飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 IRFr /??? ，式中負(fù)號(hào)表示 ? 與角速度 ? 方向相反． ∵ NFr ?? 2022614 編輯 13 N N?? ∴ Fl llNF r 1 21 ???? ?? 又∵ ,21 2mRI ? ∴ Fm R l llIRF r 1 21 )(2 ????? ?? ① 以 N100?F 等代入上式，得 2sra )( ??????? ?????? 由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為 329000 ?? ????? ???t 這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角 位移為 r a )49(340214960 290021 220????????????????? tt 可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了 轉(zhuǎn)． (2) 10 sra d60290 0 ???? ?? ，要求飛輪轉(zhuǎn)速在2?t s 內(nèi)減少一半，可知 2000sr a d21522 ???????? ????? tt 用上面式 (1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為 NllmR lF1772)()(2 211??????????????? 226 固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸 OO? 轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)大小圓柱體的半徑分別為 R 和 r ，質(zhì)量分別為 M 和m ．繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體 1m 和2m 相連， 1m 和 2m 則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題 226圖所示．設(shè) R ＝ , r ＝ ， m＝ 4 kg， M ＝ 10 kg， 1m ＝ 2m ＝ 2 kg，且開始時(shí) 1m ， 2m 離地均為 h ＝ 2m． 求 ： (1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度； (2)兩側(cè)細(xì)繩的張力． 解 : 設(shè) 1a , 2a 和β分別為 1m , 2m 和柱體的加速度及角加速度，方向如圖 (如圖b)． 題 226(a) 圖 題 226(b)圖 (1) 1m , 2m 和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下： 2222 amgmT ?? ① 1111 amTgm ?? ② ?IrTRT ???? 21 ③ 式中 ?? RaraTTTT ?????? 122211 , 而 22 2121 mrMRI ?? 由上式求得 22222222121sr a 221????????????????????? grmRmIrmRm? (2)由①式 ???????? gmrmT ?N 由②式 ???????? ?RmgmTN 227 計(jì)算題 227圖所示系統(tǒng)中物體的加速度．設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為 M ，半徑為 r ，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè) 1m ＝ 2022614 編輯 14 50 kg， 2m ＝ 200 kg,M＝ 15 kg, r ＝ m 解 : 分別以 1m , 2m 滑輪為研究對(duì)象，受力圖如圖 (b)所示．對(duì) 1m , 2m 運(yùn)用牛頓定律，有 amTgm 222 ?? ① amT 11 ? ② 對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有 ?)21( 212 MrrTrT ?? ③ 又， ?ra? ④ 聯(lián)立以上 4個(gè)方程，得 2212 2152022 2?????????? Mmmgma 題 227(a)圖 題227(b)圖 題 228 圖 228 如題 228圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m ，長(zhǎng)為 l ，可繞過一端 O 的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿于水平位置由靜止開始擺下．求： (1)初始時(shí)刻的角加速度； (2)桿轉(zhuǎn)過 ? 角時(shí)的角速度 . 解 : (1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有 ?)31(21 2mlmg ? ∴ lg23?? (2)由機(jī)械能守恒定律，有 22 )31(21s in2 ?? mllmg ? ∴ lg ?? sin3? 題 229 圖 229 如題 229圖所示，質(zhì)量為 M ，長(zhǎng)為 l 的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸 O 無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平 衡位置上．現(xiàn)有一質(zhì)量為 m 的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞．相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度 ?? 30176。 s1它離太陽的距離 2r 多少 ?(太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。 s1，它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是 2v ＝ 179。 1010m 時(shí)的速率是 1v ＝ 179。 s1從斜面 A 點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為 8N，到達(dá) B 點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度． 解 : 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原 長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。1022kg，月球半徑 179。 1024 kg，地球中心到月球中心的距離 179。 s，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度j?6? m178。 ∴ gggaaa 254 22221 ?????? aa??arctan? tan ?? ，左偏上． 26一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角 ? =30176。 s1，求輪船的速率． 解： 依題意作出矢量圖如題 114 所示． 題 114 圖 ∵ 船雨雨船 vvv ??? ?? ∴ 船雨船雨 vvv ??? ?? 由圖中比例關(guān)系可知 1sm8 ???? 雨船 vv 第二章 21 一細(xì)繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為 1m 的物體，另一邊穿在質(zhì)量為 2m 的圓柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng)．今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度 a? 下滑，求 1m ， 2m 相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩 子間的摩擦力 (繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì) )． 解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為 1a ，其對(duì)于 2m 則為牽連加速度，又知 2m對(duì)繩子的相對(duì)加速度為 a? ，故 2m 對(duì)地加速度，由圖 (b)可知，為 aaa ??? 12 ① 又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力f 在數(shù)值上等于繩的張力 T ，由牛頓定律，有 111 amTgm ?? ② 222 amgmT ?? ③ 聯(lián)立①、②、③式，得 212121121221211)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma??????????????? 討論 (1)若 0??a ，則 21 aa ? 表示柱體與繩之間無相對(duì)滑動(dòng)． (2)若 ga 2?? ，則 0??fT ，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時(shí) 1m , 2m 均作自由落體運(yùn)動(dòng)． 題 21圖 22 一個(gè)質(zhì)量為 P 的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為 ? ）上以初速度 0v 運(yùn)動(dòng)， 0v 的方 2022614 編輯 6 向與斜面底邊的水平線 AB 平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道． 解 : 物體置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N .建立坐標(biāo)：取 0v? 方向?yàn)?X 軸，平行斜面與 X 軸垂直方向?yàn)?Y 軸 .如圖 22. 題 22圖 X 方向： 0?xF tvx 0? ① Y 方向： yy mamgF ?? ?sin ② 0?t 時(shí)