山西省呂梁市20xx屆高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)試卷理科word版含解析-免費(fèi)閱讀
【正文】 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角． 【分析】 以 A為原點(diǎn)，過(guò) A在平面 ABC 內(nèi)作 AC 的垂線為 x軸， AC 為 y 軸， AA1為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出 AB1與 CA1所成角的大?。? 【解答】 解：以 A為原點(diǎn)，過(guò) A在平面 ABC 內(nèi)作 AC 的垂線為 x軸， AC 為 y 軸， AA1為z 軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) AC= AA1=2 ， 則 A（ 0， 0， 0）， C（ 0， 2 ， 0）， A1（ 0， 0， 2）， B1（ ， ， 2）， =（ ）， =（ 0，﹣ 2 ， 2）， 設(shè) AB1與 CA1所成角的大小為 θ， 則 cosθ= =0， ∴ AB1與 CA1所成角的大小為 90176。 B． 105176。 B． 105176。 1，最大值為 8． [選修 45 不等式選講 ] 24．已知函數(shù) f（ x） =log2（ |x+1|+|x﹣ 2|﹣ m）． （ 1）當(dāng) m=7 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的定義域； （ 2）若關(guān)于 x的不等式 f（ x） ≥ 2 的解集是 R，求 m 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 其他不等式的解法；函數(shù)的定義域及其求法． 【分析】 （ 1）由題設(shè)知： |x+1|+|x﹣ 2|＞ 7，解此絕對(duì)值不等式求得函數(shù) f（ x）的定義域． （ 2）由題意可得，不等式即 |x+1|+|x﹣ 2|≥ m+4，由于 x∈ R 時(shí)，恒有 |x+1|+|x﹣ 2|≥ 3，故 m+4≤ 3，由此求得 m 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1）由題設(shè)知： |x+1|+|x﹣ 2|＞ 7， 不等式的解集是以下不等式組解集的并集： ，或 ，或， 解得函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)椋ī?∞，﹣ 3） ∪ （ 4， +∞）． （ 2）不等式 f（ x） ≥ 2 即 |x+1|+|x﹣ 2|≥ m+4， ∵ x∈ R 時(shí)，恒有 |x+1|+|x﹣ 2|≥ |（ x+1）﹣（ x﹣ 2） |=3， 不等式 |x+1|+|x﹣ 2|≥ m+4 解集是 R， ∴ m+4≤ 3， m 的取值范圍是（﹣ ∞，﹣ 1]． 2017 年 1 月 11 日 。 11．已知直線 l1： 4x﹣ 3y+6=0和直線 l2： x=﹣ 1，拋物線 y2=4x上一動(dòng)點(diǎn) P 到直線 l1和直線l2的距離之和的最小值是（ ） A． B． 2 C． D． 3 12．已知函數(shù) f（ x） = ，若關(guān)于 x的不等式 f（ x2﹣ 2x+2） ＜ f（ 1﹣ a2x2）的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] B．（ ， ] C． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] D． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] 二、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13．已知 | |=1， | |= ，且 ⊥ （ ﹣ ），則向量 與向量 的夾角是 ． 14．（ x﹣ ） 6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ． 15．若不等式（﹣ 1） na＜ 2+ （﹣ 1） n+1對(duì) ? n∈ N*恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取 值范圍是 ． 16．設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 Z=max{2x+y﹣ 1， x+2y+2}的取值范圍是 ． 三、解答題（本題共 5 小題，共 70 分） 17．設(shè)函數(shù) f（ x） = ? ，其中向量 =（ 2cosx， 1）， =（ cosx， sin2x）， x∈ R． （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）在 △ ABC 中， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對(duì)邊， f（ A） =2， a= ， b+c=3（ b＞ c），求 b， c 的值． 18．如圖，已知矩形 ABCD 中， AB=2 ， AD= ， M 為 DC 的中點(diǎn)，將 △ ADM 沿 AM折起，使得平面 ADM⊥ 平面 ABCM． （ 1）求證 AD⊥ BM．； （ 2）若 E 是線段 DB 的中點(diǎn)，求二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值． 19．近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)篷布發(fā)展的新機(jī)遇， 2021 年雙 11 期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷售業(yè)績(jī)高達(dá) 918 億人民幣．與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系．現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為 ，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為 ，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為 80 次． （ 1）是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò) %的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？ （ 2）若 將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的 5 次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量 X： ①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù) X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； ②求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差． P（ K2≥ k） k （ ，其中 n=a+b+c+d） 20．已知圓心為 H的圓 x2+y2+2x﹣ 15=0 和定點(diǎn) A（ 1， 0）， B 是圓上 任意一點(diǎn)，線段 AB 的中垂線 l和直線 BH 相交于點(diǎn) M，當(dāng)點(diǎn) B 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡記為曲線 C． （ 1）求 C 的方程； （ 2）設(shè)直線 m與曲線 C 交于 P， Q 兩點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ∠ POQ=90176。 D． 90176。問(wèn) +是否為定值 ？若是求其定值，若不是說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，由 |MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4 可得點(diǎn) M 的軌跡是以 A， H 為焦點(diǎn)， 4 為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，則其標(biāo)準(zhǔn)方程可求； （ 2）分類討論，設(shè)直線 OP 方程為 y=kx（ k≠ 0），與橢圓方程聯(lián)立可得 x2， y2．進(jìn)而得到|OP|2，同理得到 |OQ|2，即可證明為定值． 【解答】 解：（ 1）由 x2+y2+2x﹣ 15=0，得（ x+1） 2+y2=42， ∴ 圓心為 H（﹣ 1， 0），半徑為 4， 連接 MA，由 l是線段 AB 的 中垂線，得 |MA|=|MB|， ∴ |MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4， 又 |AH|=2＜ 4， 故點(diǎn) M 的軌跡是以 A， H 為焦點(diǎn)， 4 為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，其方程為 =1； （ 2）設(shè)直線 OP 方程為 y=kx（ k≠ 0），聯(lián)立橢圓方程，解得 ， ∴ |OP|2= ． 同理解得 |OQ|2= ． ∴ + = ， OP 斜率不存在時(shí)， |OP|2=3， |OQ|2=4， + = 綜上所述， + = 是定值． 21．已知函數(shù) f（ x） =lnx+ax2 （ 1）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ 2）設(shè) a＞ 1，若對(duì)任意 x1， x2∈ （ 0， +∞），恒有 |f（ x1）﹣ f（ x2） |≥ 4|x1﹣ x2|，求 a
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