【正文】 （ 1）求證 AD⊥ BM．； （ 2）若 E 是線段 DB 的中點(diǎn)，求二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值． 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 BM⊥ AM， BM⊥ 面 ADM，由此能證明 BM⊥ AD． （ 2）以 AM 中點(diǎn) O 為原點(diǎn)， OA為 x軸， OD 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值． 【解答】 證明：（ 1） ∵ 長方形 ABCD 中， AB=2 ， AD= ， M 為 DC 的中點(diǎn)， ∴ AM=BM=2， ∴ BM⊥ AM， ∵ 面 ADM⊥ 面 ABCM， ∴ BM⊥ 面 ADM， ∵ AD?面 ADM， ∴ BM⊥ AD． 解：（ 2）以 AM 中點(diǎn) O 為原點(diǎn)， OA 為 x軸， OD 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 A（ 1， 0， 0）， E（﹣ ， 1， ）， =（ ，﹣ 1，﹣ ）， =（﹣ 2， 0， 0）， 平面 AMD 的法向量 =（ 0， 1， 0）， 設(shè)平面 EAM 的法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 y=1，得 =（ 0， 1，﹣ 2）， 設(shè)二面角 E﹣ AM﹣ D 的平面角為 θ， 則 cosθ=| |= ． ∴ 二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值為 ． 19．近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)展的新機(jī)遇， 2021 年雙 11 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá) 918 億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，對商品的好評率為 ，對服務(wù)的好評率為 ，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為 80 次． （ 1）是否可以在犯錯誤概 率不超過 %的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？ （ 2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的 5 次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量 X： ①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù) X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； ②求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差． P（ K2≥ k） k （ ，其中 n=a+b+c+d） 【考點(diǎn)】 獨(dú)立 性檢驗(yàn)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）由題意列出 2 2 列聯(lián)表，計算觀測值 K2，對照數(shù)表即可得出正確的結(jié)論； （ 2）根據(jù)題意，得出商品和服務(wù)都好評的概率，求出 X 的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出期望與方差． 【解答】 解：（ 1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的 2 2 列聯(lián)表為： 對服務(wù)好評 對服務(wù)不滿意 合計 對商品好評 80 40 120 對商品不滿意 70 10 80 合計 150 50 200 計算觀測值 ， 對照數(shù)表知，在犯錯誤概率不超過 %的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)； （ 2）每次購物時，對 商品和服務(wù)都好評的概率為 ，且 X 的取值可以是 0， 1， 2， 3， 4， 5； 其中 ； ； ； ； ； ； 所以 X 的分布列為： X 0 1 2 3 4 5 P 由于 X～ B（ 5， ）， 則 ； ． 20．已知圓心為 H的圓 x2+y2+2x﹣ 15=0 和定點(diǎn) A（ 1， 0）， B 是圓上任意一點(diǎn)，線段 AB 的中垂線 l和直線 BH 相交于點(diǎn) M，當(dāng)點(diǎn) B 在圓上運(yùn)動時，點(diǎn) M 的軌跡記為曲線 C． （ 1）求 C 的方程； （ 2）設(shè)直線 m與曲線 C 交于 P， Q 兩點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ∠ POQ=90176。 C． 75176。問 +是否為定值？若是求其定值，若不是說明理由． 21．已知函數(shù) f（ x） =lnx+ax2 （ 1）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ 2）設(shè) a＞ 1，若對任意 x1， x2∈ （ 0， +∞），恒有 |f（ x1）﹣ f（ x2） |≥ 4|x1﹣ x2|，求 a 的取值范圍． 請考生在第 22， 23， 24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． [選修 41幾何證明選講 ] 22．如圖，已知點(diǎn) P 是圓 O 外一點(diǎn)，過 P 做圓 O 的切線 PA， PB，切點(diǎn)分別為 A， B，過 P做一條割線交圓 O 于 E， F，若 2PA=PF，取 PF 的中點(diǎn) D，連接 AD，并延長交圓于 H． （ 1）求證：四點(diǎn) O， A， P， B 共圓； （ 2）求證： PB2=2ED DF． [選修 44 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 23．在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為 （ t 是參數(shù)），以原點(diǎn) O為極點(diǎn)， x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρ=8cos（ θ﹣ ）． （ 1）求曲線 C2的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種 曲線； （ 2）若曲線 C1與曲線 C2交于 A， B 兩點(diǎn)，求 |AB|的最大值和最小值． [選修 45 不等式選講 ] 24．已知函數(shù) f（ x） =log2（ |x+1|+|x﹣ 2|﹣ m）． （ 1）當(dāng) m=7 時，求函數(shù) f（ x）的定義域； （ 2）若關(guān)于 x的不等式 f（ x） ≥ 2 的解集是 R，求 m 的取值范圍． 20212017 學(xué)年山西省呂梁市高三（上）第一次摸底數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分） 1．已知全集 U=R， A={x|x2＜ 16}， B={x|y=log3（ x﹣ 4） }，則下列關(guān)系正確的是（ ） A． A∪ B=R B． A∪ （ ?RB） =R C． A∩（ ?RB） =RD．（ ?RA） ∪ B=R 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【分析】 確定出 A與 B，根據(jù)全集 U=R 求出 A， B 的補(bǔ)集，再根據(jù)交并計算即可． 【解答】 解：由 x2＜ 16，解得﹣ 4＜ x＜ 4，即 A=（﹣ 4， 4）， ∴ ?RA=（﹣ ∞，﹣ 4]∪ [4， +∞）， 由對數(shù)函數(shù)的定義得： x﹣ 4＞ 0，即 x＞ 4，即 B=（ 4， +∞）， ∴ ?RB=（﹣ ∞， 4]， ∴ A∪ B=（﹣ 4， +∞）， A∪ （ ?RB） =（﹣ ∞， 4]， A∩（ ?RB） =（﹣ 4， 4）， （ ?RA） ∪ B=R． 故選： D 2．已知 i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出． 【解答】 解：復(fù)數(shù) z= = =i﹣ 1，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（﹣ 1， 1）位于第二象限， 故選： B． 3．已知 a、 b 都為集合 {﹣ 2， 0， 1， 3，