【正文】 三月 21三月 2103:54:5003:54:50March 24, 20231意志 堅 強 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 三月 213:54 上午 三月 2103:54March 24, 20231少年十五二十 時 ，步行 奪 得胡 馬騎 。 2023/3/24 3:54:5003:54:5024 March 20231做前，能 夠環(huán)視 四周；做 時 ，你只能或者最好沿著以腳 為 起點的射 線 向前。某城市的街區(qū)由某城市的街區(qū)由 12個全等的矩形區(qū)組成個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從其中實線表示馬路，從 A走到走到 B的最短路的最短路徑有多少種？徑有多少種？練習題BA例 袋中有 5分硬幣 23個 ,1角硬幣 10個 ,如果從袋中取出 2元錢 ,有多少種取法 ?解 把所有的硬幣全部取出來 ,將得到 23+10= ,所以比 2元多 ,所以剩下 3個 5分或 1個 5分與 1個 1角 ,所以共有 種取法 .結論 剩余法 :在組合問題中 ,有多少取法 ,就有多少種剩法 ,他們是一一對應的 ,因此 ,當求取法困難時 ,可轉化為求剩法 .靜夜四無 鄰 ，荒居舊 業(yè)貧 。 m等分的組合問題是非等分情況的 。一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班將將 n個相同的元素分成個相同的元素分成 m份（份（ n， m為正整數）為正整數） ,每份至少一個元素每份至少一個元素 ,可以用可以用 m1塊隔板，插入塊隔板，插入 n個元素排成一排的個元素排成一排的 n1個空隙中，所有分法數個空隙中，所有分法數為為例 高二年級 8個班 ,組織一個 12個人的年級學生分會 ,每班要求至少 1人 ,名額分配方案有多少種 ?解 此題可以轉化為 :將 12個相同的白球分成 8份 ,有多少種不同的分法問題 ,因此須把這 12個白球排成一排 ,在 11個空檔中放上 7個相同的隔板 ,每個空檔最多放一個 ,即可將白球分成 8份 ,顯然有 種不同的放法 ,所以名額分配方案有 種 .結論 轉化法 :對于某些較復雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉化思想 ,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解 .練 習（ 1）將 10個學生干部的培訓指標分配給 7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有 （ ）種。 “ 插空 ” 有同時 “ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ”, 并要注意條件的限定 .定序問題定序問題定序問題倍縮空位插入策略例 7人排隊 ,其中甲乙丙 3人順序一定共有多 少不同的排法解 :(倍縮法 )對于某幾個元素順序一定的排列問題 ,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列 ,然后用總排列數除以 這幾個元素之間的全排列數 ,則共有不同排法種數是： （ 空位法 ）設想有 7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法。排列組合應用題極易出現 “ 重 ” 、 “ 漏 ”現象，而重 ” 、 “ 漏 ” 錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。++本題還有如下分類標準：本題還有如下分類標準：*以以 3個全能演員是否選上唱歌人員為標準個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以以 3個全能演員是否選上跳舞人員為標準個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的以只會跳舞的 2人是否選上跳舞人員為標準人是否選上跳舞人員為標準都可經得到正確結果都可經得到正確結果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。 A. 6 種 B. 9種 B解決排列組合綜合性問題的一般過程如下解決排列組合綜合性問題的一般過程如下 : ,即采取分步還即采取分步還 是分類是分類 ,或是分步與分類同時進行或是分步與分類同時進行 ,確定分多確定分多 少步及多少類。m3把握分類原理、分步原理是基礎例 1如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路 ,其中有 6個焊接點 A， B， C， D， E， F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通。若有多再處理其它位置。遼寧 )用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復數字的八位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數共有 ___________個．（用數字作答） 練 習(3)(2023 １ .計劃展出 10幅不同的畫 ,其中 1幅水彩畫 ,４　幅油畫 ,５幅國畫 , 排成一行陳列 ,要求同一　品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩　端，那么共有陳列方式的種數為 _______2. 5男生和５女生站成一排照像 ,男生相鄰 ,女　生也相鄰的排法有 _______種元素相同問題隔板策略應用背景：相同元素的名額分配問題 不定方程的正整數解問題隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一個元素相同問題隔板策略例 .有 10個運動員名額，在分給 7個班，每　　班至少一個 ,有多少種分配方案？ 解：因為 10個名額沒有差別，把它們排成　　一排。例 我們班里有 43位同學 ,從中任抽 5人 ,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種 ?解 43人中任抽 5人的方法有 種 ,正副班長 ,團支部書記都不在內的抽法有 種 ,所以正副班長 ,團支部書記至少有 1人在內的抽法有 種 .結論 去雜法 :有些問題 ,正面直接考慮比較復雜 ,而它的反面往往比較簡捷 ,可以先求出它的反面 ,再從整體中排除 .平均分組問題除法策略平均分組問題除法策略“ 分書問題 ”平均分組問題除法策略例 12. 6本不同的書平均分成 3堆 ,每堆 2本共有 多少分法？解 : 分三步取書得 種方法 ,但這里出現 重復計數的現象 ,不妨記 6本書為 ABCDEF 若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 該分法記為 (AB,CD,EF),則 中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 種取法 ,而 這些分法僅是 (AB,CD,EF)一種分法 ,故共 有 種分法。解：練習 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有 ____種解：對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果圖會收到意想不到的結果練習題 ,要求相鄰區(qū) 域不同色 ,現有 4種可選顏色 ,則 不同的著色方法有 ____種2134572其它特殊方法其它特殊方法分解與合成策略例 . 30030能被多少個不同的偶數整除分析：先把 30030分解成質因數的乘積形式 30030=235 7 1113 依題 意可知偶因數必先取 2,再從其余 5個 因數中任取若干個組成乘積，所有 的偶因數為：例 8個頂點可連成多少對異面 直線解：我們先從 8個頂點中任取 4個頂點構成四 體共有體共 __________每個四面體有 ___對異面直線 ,正方體