【正文】 2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？解法一：解法二： （ 1）有兩門課時(shí)間沖突 ,不能同時(shí)學(xué)，有幾種選法？解法一：解法二： （ 2）有兩門特別的課，至少選學(xué)其中的一門，有幾種選法？ ,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)題小結(jié)： “ 在 ” 與 “ 不在 ” 可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位置上用 “ 定位法 ” ，解決某些元素不在某些位置上一般用 “ 間接法 ”或轉(zhuǎn)化為 “ 在 ” 的問題求解。排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn) “ 重 ” 、 “ 漏 ”現(xiàn)象，而重 ” 、 “ 漏 ” 錯(cuò)誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。為了更好地防 “重 ” 堵 “ 漏 ” ，在做題時(shí)需認(rèn)真分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多解核對(duì)答案相鄰相間問題相鄰相間問題相鄰元素捆綁策略相鄰元素捆綁策略例 . 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰 , 共有多少種不同的排法 .甲 乙 丙 丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè) 復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列， 同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。 要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題 ,可以用可以用捆綁法來解決問題捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列再與其它元素一起作排列 ,同時(shí)同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列要注意合并元素內(nèi)部也必須排列 .例 5個(gè)男生 3個(gè)女生排成一排 ,3個(gè)女生要排在一起 ,有多少種不同的排法 ? 結(jié)論 捆綁法 :要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列 .有 8本互不相同的書 ,其中數(shù)學(xué)書 3本 ,外文書 2本 ,其他書 3本 .若將這些書排成一列放在書架上 ,則數(shù)學(xué)書恰好排在一起 ,外文書也恰好排在一起的排法共有 _____ 種 (結(jié)果用數(shù) 值表示 ).不相鄰問題插空策略不相鄰問題插空策略例例 4個(gè)舞蹈?jìng)€(gè)舞蹈 ,2個(gè)相聲個(gè)相聲 ,3個(gè)個(gè) 獨(dú)唱獨(dú)唱 ,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng) ,則節(jié)目的出則節(jié)目的出 場(chǎng)順序有多少種？場(chǎng)順序有多少種？解解 :分兩步進(jìn)行第一步排分兩步進(jìn)行第一步排 2個(gè)相聲和個(gè)相聲和 3個(gè)獨(dú)唱共個(gè)獨(dú)唱共 有有 種，種， 第二步將 4舞蹈插入第一步排好的 6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種 不同的方法 由分步計(jì)數(shù)原理 ,節(jié)目的不同順序共有 種相 相獨(dú) 獨(dú)獨(dú)元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端不相鄰問題 —— 插空法 對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例 5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余 4人站好，共有 種排法，再在這 4人之間及兩端的 5個(gè) “空隙 ”中選三個(gè)位置讓甲、乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同的排法。某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目 .如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）30練習(xí)題（ 1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（ 2） 三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排， 男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：（ 3） (2023 遼寧 )用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 ___________個(gè)．（用數(shù)字作答） 練 習(xí)(3)(2023 遼寧 )用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 ___________個(gè)．（用數(shù)字作答） 將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有 種，再將７、８插入 4個(gè)空位中的兩個(gè)有 種，故有 種． 引申 :用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將 8 插進(jìn)去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么插法共有 ___________種．（用數(shù)字作答） 某人射擊 8槍，命中 4槍， 4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ）練習(xí)題20“相鄰 ”用 “捆綁 ”， “不鄰 ”就 “插空 ”例 七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（ ）種960種 （ B） 840種 （ C） 720種 （ D） 600種解：另解：例 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12張。 8個(gè)學(xué)生， 4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解 先排學(xué)生共有 種排法 ,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有 7個(gè)空檔可插 ,選其中的 4個(gè)空檔 ,共有 種選法 .根據(jù)乘法原理 ,共有的不同坐法為 種 .結(jié)論 插入法 :對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題 ,可以用插入法 .即先排好沒有限制條件的元素 ,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可 .分析 此題涉及到的是不相鄰問題 ,并且是對(duì)老師有特殊的要求 ,因此老師是特殊元素 ,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待 .所涉及問題是排列問題 .小結(jié)： 以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用 “ 捆綁法 ” ；以某些元素不能相鄰為附加條件的 ,可采用 “插空法 ” 。 “ 插空 ” 有同時(shí) “ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ”, 并要注意條件的限定 .定序問題定序問題定序問題倍縮空位插入策略例 7人排隊(duì) ,其中甲乙丙 3人順序一定共有多 少不同的排法解 :(倍縮法 )對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題 ,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列 ,然后用總排列數(shù)除以 這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù)是： （ 空位法 ）設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法。 1思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ?（ 插入法 )先排甲乙丙三個(gè)人 ,共有 1種排法 ,再 把其余 4四人 依次 插入共有 方法4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習(xí)題10人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5人 ,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？例 期中安排考試科目 9門 ,語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考 ,有多少種不同的安排順序 ?解 不加任何限制條件 ,整個(gè)排法有 種 ,“ 語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考 ”, 與 “ 數(shù)學(xué)安排在語(yǔ)文之前考 ” 的排法是相等的 ,所以語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種 .結(jié)論 對(duì)等法 :在有些題目中 ,它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的