【正文】 3． 線段的定比分點(diǎn)公式 ：設(shè) 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ， ( , )Pxy 分有向線段 12PP 所成的比為 ? ，則121211xxxyyy?????? ??? ?? ???? ??， 特別地， 當(dāng) ? ＝ 1 時(shí)，就得到線段 P1 P2 的中點(diǎn)公式121222xxxyyy?? ???? ?? ???。=4． ∴ 2OP? ，即 |PO|=2． （ 2）設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn) M 的斜坐標(biāo)為（ x， y），則 OM =x1e +y2e ． ∵ OM =1 ∴ （ x1e +y2e ） 2=1． ∴ x2+y2+2xy1e ?2e =1． ∴ x2+y2+xy=1． 故所求方程為 x2+y2+xy=1． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算．屬中檔題． （答： （ 1） 2；（ 2） 22 10x y xy? ? ? ?）； (11)已知向量 (2,0)OB??? ? ， 向量 (2,2)OC??? ? ，向量 ( 2 c o s , 2 s in )CA ????? ? 則向量 OA??? 與向量OB??? 夾角的范圍為（ ） 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 19 頁(yè) 共 26 頁(yè) .[0, ]4A ? 5.[ , ]4 12B?? 5.[ , ]12 2C ?? 5.[ , ]12 12D ?? 解析： ∵ (2,2)OC??? ? ，向量 ( 2 c o s , 2 s in )CA ????? ? ∴ ( 2 2 c o s , 2 2 s i n )O A O C C A ????? ??? ???? ? ? ? ? 22| | ( 2 2 c o s ) ( 2 2 s i n )OA ????? ? ? ? ?， | | 2OB??? ? ； 設(shè)向量 OA??? 與向量 OB??? 夾角為 ? ∵ 222 ( 2 2 c o s )c o s2 ( 2 2 c o s ) ( 2 2 s in )O A O BO A O B????????? ? ?212 2 s in1 ( )2 2 c o s??? ?? ? 令 2 2 sin2 2 cosy ???? ?， ∴21cos 1 y? ? ? ，由題知 0y? ∵ ? ?0,??? ， ∴ 22 21sin 1 c os 1 1 1 yy y??? ? ? ? ?? ?， sintan cos y?? ??? 又由 2 2 sin2 2 cosy ???? ?得 sin c o s 2 ( 1 )yy??? ? ?，22 ( 1 )si n( ) 11yy?? ?? ? ??， 由 222 ( 1) 11yy??? ???? ? ???，得 2 3 2 3y? ? ? ? ∴ 2 3 ta n 2 3?? ? ? ?， ∴ 5[ , ]12 12???? ，故選（ D） 七． 向量的運(yùn)算律 ： 1． 交換律： a b b a? ? ? ， ? ? ? ?aa? ? ??? ， a b b a? ? ? ； 2． 結(jié)合律： ? ? ? ?,a b c a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?a b a b a b? ? ?? ? ? ? ?； 3． 分配律： ? ? ? ?,a a a a b a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ? ?a b c a c c? ? ? ? ? ?。 6?或 （ 2）若 x∈ ]4,83[ ??? ，函數(shù) baxf ???)( 的最大值為 21 ， baxf ???)( = 2sin sin c o sx x x? ?（ ） 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 15 頁(yè) 共 26 頁(yè) = 1 c os 2 si n 22 xx? ??（ ） 2 si n( 22 2 4x? ? ?? ? ? ） ∵ x∈ ]4,83[ ??? ∴ 384x??? ? ?，即 244x ???? ? ? ?， 當(dāng) 242x ??? ??時(shí)， sin( 24x ?? ） =1為最小值； 當(dāng) 244x ????時(shí)， 2sin( 2 42x ?? ） = 為最大值，即 2sin( 2 1,42x ? ??? ? ?????） ∴ 當(dāng) 0?? 時(shí)， ()fx最大值為 2 2 12 2 2 2????，即 12 2 2????， ∴ 12??； 當(dāng) 0?? 時(shí)， ()fx最大值為 21( 1)2 2 2??? ? ?，即 21????， 1 2112? ? ? ? ?? 當(dāng) 0?? 時(shí)， baxf ???)( =0， ∴ 0?? 答案： 1(1)150 。 ② 實(shí)數(shù)與向量的積 ： ? ? ? ?1 1 1 1,a x y x y? ? ? ???。 BCADaba + bA BCab a bABC 平行四邊形 法則 三角形 加 法 法 則 三角形 減 法 法 則 如 （ 1） 化簡(jiǎn)： ① AB BC CD? ? ?___； ② AB AD DC? ? ?____； ③ ( ) ( )A B C D A C B D? ? ? ?____ 解答： ① A B B C CD A D? ? ?(由起點(diǎn)到終 點(diǎn) )； ② A B A D D C D B D C C B? ? ? ? ?或 ()A B A D D C A B A D D C A B A C C B? ? ? ? ? ? ? ? ③ ( ) ( )A B C D A C B D? ? ? ?( ) ( ) 0A B A C D C D B C B B C? ? ? ? ? ? 或 ( ) ( )A B C D A C B D? ? ? ?( ) ( ) 0A B B D A C C D A D A D? ? ? ? ? ? （答： ① AD ； ② CB ； ③ 0 ）； （ 2） 若 正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1， ,AB a BC b AC c???，則 ||abc?? ＝ _____ 解答： ∵ a b c??， 2c? ∴ ||abc?? 2| | 2 2c?? （答： 22）； （ 3） 若 O 是 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 2O B O C O B O C O A? ? ? ?，則 ABC 的形狀為 ____ 解 法 1： （ 幾何運(yùn)算解法） ∵ 2O B O C O B O C O A? ? ? ? ∴ ( ) ( )O B O C O B O A O C O A? ? ? ? ?即 CB AB AC?? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 11 頁(yè) 共 26 頁(yè) 以線段 AB 和 AC 為鄰邊畫(huà)出平行四邊形， 則 AB AC? 等于起點(diǎn)為 A 的平行四邊形的對(duì)角線， ∵ C B A B A C A B A C? ? ? ?， ∴平行四邊形的兩條對(duì)角線相等， ∴平行四邊形是矩形， ∴∠ BAC 是直角， ∴△ ABC 是直角三角形， （答：直角三角形）； 解法 2：（代數(shù)法） ∵ 222,a a a a a a? ? ? ?， 2O B O C O B O C O A? ? ? ? ∴ ( ) ( )O B O C O B O A O C O A? ? ? ? ?兩邊平方得： 22 22+ 2 ( ) ( ) + 2 ( ) ( )O B O C O B O C O B O A O C O A O B O A O C O A? ? ? ? ? ? ? 整理得： 2 =0O A O B O A O C O A O B O C? ? ?即 ( ) ( ) = 0O B A O C O A?? ∴ =0AB AC ∴ AB⊥ AC ∴△ ABC 是直角三角形 （ 4） 若 D 為 ABC? 的邊 BC 的中點(diǎn)， ABC? 所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P ，滿足 0PA BP CP? ? ?，設(shè)||||APPD ?? ，則 ? 的值為 ___ 解 法 1： 如圖 ：延長(zhǎng) PD 至 O，使 DO=PD，連接 BO。 （答： 1）； 3． b 在 a 上的投影 為 | |cosb ? ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于 0。 三． 平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 不共線向量 ，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量 a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1? 、 2? ，使 a= 1? e1＋ 2? e2。其中正確的是 _______ （答：（ 4）（ 5）） (解答： （ 1）若 ab? ， 表示模相等，方向可以是任意的。 ⑥ 兩個(gè)平行的非零向量在其方 向與模兩個(gè)要素上可能出現(xiàn)以下四種情況： Ⅰ 、方向相同，長(zhǎng)度相等； Ⅱ 、方向相同，長(zhǎng)度不等； Ⅲ 、方向相反，長(zhǎng)度相等； Ⅳ 、方向相反，長(zhǎng)度不等； 7． 相反向量 ：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。 由題意知： 12( , )P P a a a??? ?????? OP OP a??? ??? ?????? 12( , ) ( , ) ( , )x y x y a a?? ?? 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y a a x y x a y a?? ? ? ? ? ? 12x x ay y a????? ???? 即：對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo) =原點(diǎn)坐標(biāo) +平移向量坐標(biāo) 如 ： 已知 A（ 1,2）， B（ 4,2），則把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移后得到的向量是 _____（答： （ 3,0） ） 解析 1：（用 平移公式 ）把點(diǎn) A（ 1,2） 平移 向量 a ＝（－ 1,3） 后得 A? =(11,2+3)=(0,5) 把點(diǎn) B（ 4,2） 平移 向量 a ＝（－ 1,3） 后得 B? =(41,2+3)=(3,5)， ( 4 1, 2 2) ( 3 , 0)AB ? ? ? ? ∴ ( 3 0 , 5 5 ) ( 3 , 0)AB?? ? ? ? ? 答案： 把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移后得到的向量是 (3,0)AB??? 解析 2： ∵ 把向量 AB 按向量 a ＝（－ 1,3）平移 是 指 把向量 AB 的首末端點(diǎn) 按向量 a ＝（－ 1,3）平移 。這 種從圖形 F 到 F39。 注意 不能說(shuō)向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移）。（ x39。 5． 相等向量 ：長(zhǎng)度相等 且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量， 相等向量有傳遞性 ； 兩個(gè)向平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 2 頁(yè) 共 26 頁(yè) 量相等，與向量起點(diǎn)、終點(diǎn) 的位置無(wú)關(guān)。（ 4）若 ABCD 是平行四邊形，則 AB DC? 。 （ 4） ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， ∴ 平行四邊形 的對(duì)邊平行且相等 ， ∴ AB DC? 是對(duì)的； ABCD 是平行四邊形 是AB DC? 的充分不必要條件。 2． 平面向量的數(shù)量積 ：如果兩個(gè)非零向量 a ， b ，它們的夾角為 ? ，我們把數(shù)量 | || | cosab ?叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作： a ? b ，即 a ? b ＝ cosab ? 。 即 與a a b? 的 夾角是 30176。 ∴△ ABC 的內(nèi)角∠ CAB=30176。 如： （ 1） 已知點(diǎn) (2,3), (5,4)AB， (7,10)C ，若 ()A P A B A C R??? ? ?，則當(dāng) ? ＝ ____時(shí)，點(diǎn) P在第一、三象限的角平分線上 解答： 設(shè)點(diǎn) ( , )Pxy ∵ 點(diǎn) P 在第一、三象限的角平分線上 ∴ yx? ∵ (2,3), (5,4)AB， (7,10)C ， ( , )Pxy ，即 ( 2, 3)AP x y? ? ?， (5 2 , 4 3 ) (3,1)AB ? ? ? ?， (7 2 ,1 0 3 ) (5 , 7)AC ? ? ? ?且 ()A P A B A C R??? ? ? ∴ ( 2, 3)xy? ? ? ( 3 , 1 ) ( 5 , 7 ) ( 3 5 , 1 7 )? ? ?? ? ? ? 即有 2 3 53 1 7xyyx??? ? ???? ? ?????解得： 12?? 答案： 當(dāng) 12?? 時(shí)，點(diǎn) P 在第一、三象限的角平分線上 （答： 12 ） ； （ 2） 已知 1( 2 , 3 ) , (1 , 4 ) , ( s i n , c o s )2A B A B x y?且 ， , ( , )22xy ???? ，則 xy?? 解答： ∵ 1( 2 , 3 ) , (1 , 4 ) , ( s i n , c o s )2A B A B x y?且 ∴ 1 (1 2 , 4 3 ) (s in , c o s )2 xy? ? ? 即1sin21cos2xy? ?????? ???， , (