【正文】 22ab? ? ?， ∴ 11(1, )22c a k b k? ? ? ?， ? ?21114ck? ? ? ∵ 11(1, ), (0 , )22ab? ? ?， ∴ (1,1)d a b? ? ? ， 2d? ∵ c 與 d 的夾角為4?， ∴ cos 4c d c d ?? ，即 ? ? ? ? 21 1 1 2(1 , ) 1 , 1 1 1 22 2 4 2kk? ? ? ? ∴ 解得 1k? ，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意。 （答： 1）； 3． b 在 a 上的投影 為 | |cosb ? ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于 0。 如 （ 1） 已知 3|| ??a ， 5|| ??b ，且 12????ba ，則向量 ?a 在向量 ?b 上的投影為 ______ 解答： ∵ 向量 ?a 在向量 ?b 上的投影為 | |cosa ? ，且 cos abab??? 12 415 5?? ∴ | |cosa ? 4 123 55? ? ? ；（或 ∵ a ? b ＝ cosab ? =12， ∴ | |cosa ? = 512 ） ∴ 向量 ?a 在向量 ?b 上的投影為 512 （答： 512 ） （ 2） 已知 2,3a??（ ） ， 4,7b??（ ） ， 則向量 ?a 在向量 ?b 上的投 影為 （ ） . 13A 13. 5B 65. 5C . 65D 解答： ∵ 向量 ?a 在向量 ?b 上的投影為 | |cosa ? ， 2,3a??（ ） ， 4,7b??（ ） ∴ 22| | ( 4 ) 7 6 5b? ? ? ? ?， 2 , 3 4 , 7 8 2 1 1 3ab?? ? ? ? ? ?（ ）（ ） ∵ a ? b ＝ cosab ? ∴ | |cosa ? abb?? = 13 13565? 答案：選（ C） 4． a ? b 的幾何意義 ：數(shù)量積 a ? b 等于 a 的模 ||a 與 b 在 a 上的投影的積。 5． 向量數(shù) 量積的性質(zhì) ：設(shè)兩個(gè)非零向量 a ， b ，其夾角為 ? ，則 ： ① 0a b a b? ? ? ?； 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 6 頁(yè) 共 26 頁(yè) ② 當(dāng) a ， b 同向時(shí)， a ? b ＝ ab，特別地， 222,a a a a a a? ? ? ?；當(dāng) a 與 b 反向時(shí)，a ? b ＝－ ab；當(dāng) ? 為銳角時(shí)， a ? b ＞ 0，且 ab、 不同向， 0ab?? 是 ? 為銳角的必要非充分條件 ；當(dāng) ? 為鈍角時(shí)， a ? b ＜ 0，且 ab、 不反向， 0ab?? 是 ? 為鈍角的必要非充分條件 ； ③ 非零向量 a ， b 夾角 ? 的計(jì)算公式： cos abab??? ； ④ | | | || |a b a b?? 。 如 （ 1） 已知 )2,( ????a ， )2,3( ???b ，如果 ?a 與 ?b 的夾角為銳角，則 ? 的取值范圍是 ______ 解答 1： ∵ ?a 與 ?b 的夾角為銳角 ， ∴ a ? b ＞ 0，即 2( , 2 ) ( 3 , 2 ) 3 4 0ab ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 解得 43???或 0?? ，又 ∵ 當(dāng) ? 為銳角時(shí)， a ? b ＞ 0，且 ab、 不同向， 即 a kb??? ，故當(dāng) ? ?( , 2 ) 3 , 2k? ? ?? 時(shí)， 13k ??? ∴ 當(dāng) ?a 與 ?b 的夾角為銳角 時(shí) ，則 ? 的取值范圍是 43??? 或 0?? 且 13?? （答： 43??? 或 0?? 且 13?? 解答 2： ∵ ?a 與 ?b 的夾角為銳角 ， ∴ a ? b ＞ 0，即 2( , 2 ) ( 3 , 2 ) 3 4 0ab ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 解得 43??? 或 0?? ，又 ∵ 當(dāng) ? 為銳角時(shí)， a ? b ＞ 0，且 ab、 不同向， ∴ cos 1?? ，即 0?? （或 00?? ） 當(dāng) cos 1?? 時(shí)， a ? b ＝ ab，解得 13?? ∴ 當(dāng) ?a 與 ?b 的夾角為銳角 時(shí) ，則 ? 的取值范圍是 43??? 或 0?? 且 13?? （ 2） 已知 (2, 1)a???， ( ,3)b ??? ， ① 如果 ?a 與 ?b 的夾角為銳角，則 ? 的取值范圍是 ______ ② 如果 ?a 與 ?b 的夾角為 鈍 角，則 ? 的取值范圍是 ______ 解答 ： ① ?a 與 ?b 的夾角 ? 為銳角 cos 0cos 1?????? ??，2( 2 , 1 ) ( , 3 ) 2 3 02 3 | | | | 5 9aba b a b????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???解得 32?? ② ?a 與 ?b 的夾角 ? 為鈍 角 cos 0cos 1?? ???? ???，2( 2 , 1 ) ( , 3 ) 2 3 02 3 | | | | 5 9aba b a b????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???326??? ????? ??? 答案： ① ?a 與 ?b 的夾角 ? 為銳角 時(shí)， 32?? ； ?a 與 ?b 的夾角 ? 為鈍 角 時(shí)， 32?? 且 6??? （ 3） 已知 | | 1a?? ， | | 2b?? ，且 ()ab? 和 a 垂直，則 a 與 b 的夾角為（ ） 解析：∵ ()ab? 和 a 垂直，即 ( ) 0a b a?? ∴ 2 0a a b?? 即 2ab a? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 7 頁(yè) 共 26 頁(yè) ∴ 2 12c o s ,22aaababa b a b b?? ? ? ? ? ? ? ∵ 00,180? ????? ∴ 045?? ∴ a 與 b 的夾角為 答案：選 D (4)與向量 (1, 3)a?? 的夾角為 030 的單位向量是（ ） 13. , (1, 3 )22A ??????或 31.( , )22B .(0,1)C .(0,1)D 或 31( , )22 解析：設(shè) ( , )e x y? ，則 221xy?? ∵ a ? e ＝ cosae ? ， | | 2a?? ， | | 1e?? ∴ 3(1, 3 ) ( , ) 2 1 2xy ? ? ? 即 223033 21112xxxyyxy y? ??? ???????? ? ????? ?? ? ???或 ∴ (0,1)e? 或 31( , )22e? 答案：選（ D） (由直覺(jué)也可判斷 D 是正確的 ) （ 5） 已知 | | 4a?? ， | | 5b?? ， | | 41 20 3ab? ? ? ，則 a 與 b 的夾角為（ ） 解析： ∵ | | 41 20 3ab? ? ? ∴ 兩邊平方得 2 22 2 4 1 2 0 3a b a b a b? ? ? ? ? ? ∴ 10 3ab? ∴ 1 0 3 3c o s ,2 0 2abab ab?? ? ? ? ?， ∵ ? ?0,??? ∴ 6??? ∴ a 與 b 的夾角為 6? 。 （ 6） 已知 ab、 都是非零向量，且向量 3ab? 與向量 75ab? 垂直，向量 4ab? 與向量 72ab?垂直， 則 a 與 b 的夾角 ? 為 解析： 由已知有 ? ? ? ?? ? ? ?3 7 5 04 7 2 0a b a ba b a b? ? ? ??? ? ? ??? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 8 頁(yè) 共 26 頁(yè) ∴ 227 16 15 0 , (1 )7 30 8 0 , ( 2)a a b ba a b b? ? ? ???? ? ? ?? （ 1） （ 2）得 212ab b?；（ 1） 15（ 2） 8 得 ab? ∴2112c o s ,2bababa b a b?? ?? ? ? ∵ ? ?0,??? ∴3??? （ 7） 已知 OFQ? 的面積為 S ，且 1?? ? ??? ?? FQOF ，若 2321 ??S ，則 OF??? ， FQ??? 夾角 ? 的取值范圍是 _________ 解答： ∵ OF??? ， FQ??? 夾角 為 ? ∴ 在 OFQ? 中 ∠ OFQ=??? ， ? ?s i n s i n s i nO F Q ? ? ?? ? ? ? ∵ 1?? ? ??? ?? FQOF 即 c o s 1O F F Q F O F Q ???? ??? ? ? ? ∴ 1cosFO FQ ?? ∵ OFQ? 的面積 S = 1 1 1sin sin2 2 c o sF O F Q ????= 1tan2 ? ，且 2321 ??S ∴ 1 tan 3??? ∵ ? ?0,??? ∴ 43????? ，即 43????（ ， ） ∴ ? ??? ?? FQOF, 夾角 ? 的取值范圍是 ( , )43?? （答： ( , )43?? ）； （ 8） 已知 (cos ,sin )a x x? ， (cos ,sin )b y y? ， a 與 b 之間有關(guān)系式 3k a b a k b? ? ?， 0k?其 中 ， ① 用 k 表示 ab? ； ② 求 ab? 的最小值，并求此時(shí) a 與 b 的 夾角 ? 的大小 解答： ∵ (cos ,sin )a x x? ， (cos ,sin )b y y? ， ∴ ( c o s c o s , s in s in )k a b k x y k x y? ? ? ?， ? ?( c o s , s in ) ( c o s , s in ) c o sa b x x y y x y? ? ? ? ? ?c o s c o s , s i n s i na k b x k y x k y? ? ? ?， ∵ 3 , 0k a b a k b k? ? ? ?其 中 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2c o s c o s s i n s i n 3 c o s c o s s i n s i nk x y k x y x k y x k y? ? ? ? ? ? ? 解得： ? ? ? ?2 1c o s , 04kx y kk?? ? ? ∴① ? ?cosa b x y? ? ? ? ?2 1 ,04k kk??? ?O FQ平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 9 頁(yè) 共 26 頁(yè) ②∵ ? ?cosa b x y? ? ? ? ?2 1 ,04k kk??? ∴ ab? ? ?2 1 1 1 1 1 12 , 04 4 4 2k k k kk k k? ??? ? ? ? ? ? ?????，當(dāng)且僅當(dāng) 1kk?，即 1k? 時(shí)，取得最小值 12，此時(shí) ∵ 1, 1ab??， 12ab?? ∴ 1cos2abab? ??， ∵ ? ?0,??? ∴ 060,?? （或 ,3???） 即 a 與 b 的 夾角 ,3??? 答 案 ： ① 2 1 ( 0)4ka b kk?? ? ?； ② 最小值為 12 ， 60?? 解析 2： ① ∵ 3 , 0k a b a k b k? ? ? ?其 中， 1ab?? ∴ 2 2 2 2222 3 3 6k a b k a b a k b k a b? ? ? ? ? ∴ 241ka b k?? ab?? ? ?2 1,04k kk? ? ； ② 同解析 1. （ 9） 已知 2, 5, 3a b a b? ? ? ?，則 ab? 等于 ____ 解答： ∵ 222,a a a a a a? ? ? ?， 2, 5, 3b a b? ? ? ? ∴ ab? = ? ? 2 222 4 2 5 6 2 3a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ∴ ab? = 23 （答： 23 ）； （ 10） 已知 ,ab是兩個(gè)非零向量，且 a b a b? ? ? ，則 與a a b? 的夾角為 ____ 解 法 1： ∵ 222,a a a a a a? ? ? ?， a b a b? ? ? ∴ ? ? 22 2 2 2 222a b a b a b a b a a b? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 223a b a b a b a? ? ? ? ?， 223() 2a a b a a b a? ? ? ? ∴ 設(shè) 與a a b? 的夾角為 ? ，由 cos abab??? 得 23( ) 32c o s23aa a baaa a b???? ? ?? ∵ ? ?0,??? ∴ 030,?? （或 ,6??? ） 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧