【正文】 , )22xy ???? ∴ 633xyy???? ?????? ? ? ??? 或， xy?? 6 3 6? ? ?? ? ? 或 xy?? 6 3 2? ? ?? ? ?? 答案： xy??6?? 或 xy?? 2??? （答： 6? 或 2?? ） ； （ 3） 已知作用在點 (1,1)A 的三個力 1 2 3( 3 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 ,1 )F F F? ? ? ?，則合力 1 2 3F F F F? ? ? 的終點坐標是 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 14 頁 共 26 頁 解答： ∵ 作用于 A 點的三個力 F1=（ 3， 4）， F2=（ 2， 5）， F3=（ 3， 1），且 A（ 1， 1）， 則合力 F=F1+F2+F3=（ 3， 4） +（ 2， 5） +（ 3， 1） =（ 8， 0）， 設(shè)合力 F=F1+F2+F3 的終點為 B（ x， y），由題意得： AB =（ 8， 0）， 即（ x， y） （ 1， 1） =（ 8， 0）， ∴ （ x， y） =（ 9， 1）． （答： （ 9,1） ） （ 4） 設(shè) (2,3), ( 1,5)AB? ，且 13AC AB?， 3AD AB? ， 則 C、 D 的坐標分別是 __________ 解答 1： 設(shè) ( , ), ( , )C x y D a b ∵ 13AC AB?， 3AD AB? ，且 ( 2, 3)AC x y? ? ? ， ( 2, 3)AD a b? ? ?， ( 1 2 , 5 3 ) ( 3 , 2 )AB ? ? ? ? ? ? ∴ 1( 2 , 3) ( 3, 2 )3xy? ? ? ?， ( 2, 3) 3( 3, 2 )ab? ? ? ? 解得： ( , )xy? 11(1, ),3 ( , ) ( 7,9)ab?? 答 案 ： 11(1, ), ( 7,9)3CD? 解答 2： ∵ 13AC AB?， ( 1 2 , 5 3 ) ( 3 , 2 )AB ? ? ? ? ? ?， 2,3OA（ ） ∴ 13AO OC AB?? ∴ 1 1 1 1( 2 , 3 ) ( 3 , 2 ) (1 )3 3 3O C O A A B? ? ? ? ? ? ， 同理 3 ( 2 , 3 ) 3 ( 3 , 2 ) ( 7 9 )O D O A A B? ? ? ? ? ? ? ， 答 案 ： 11(1, ), ( 7,9)3CD? （ 5） 已知向量 a ＝（ sinx， cosx） , b ＝ （ sinx， sinx） , c ＝（－ 1， 0）。 解析： ① 設(shè)向量 ( , )b x y??? ? ∵ 向量 (2,2)a??? ? ，向量 b??? 與向量 a??? 的夾角為 34? ，且 ab?????? =2， ∴222 2 2c o s , 222| | | |a b x yababxyab??? ?????? ?????? ?????? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ??2211xyxy? ????? ??? ∴ ( 1,0)b??? ?? 或 (0, 1)b??? ?? ②∵ (1,0)t??? ? 且 b??? ⊥ t??? ∴ 取 (0, 1)b??? ??， ∵ 三角形的三內(nèi)角 A、 B、 C 依次成等差數(shù)列，即 Bd+B+B+d=? ，得 3B ?? ， ∴ 23AC??? ∴ 222| | ( c o s , 2 c o s 1 )2Cb c A??? ??? ? ? ? = 2(cos ,cos )AC = 22cos cosAC? = 1 (c os 2 c os 2 ) 12 AC?? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 18 頁 共 26 頁 = c os( ) c os( ) 1A C A C? ? ? = 11 cos( )2 AC?? 21c os( ) c os32AC ?? ? ? ? ∵ 三角形的三內(nèi)角 A、 B、 C 依次成等差數(shù)列且3B ??， 23AC??? ∴ 20,6 6 3AC? ? ?? ? ? ?，（等號成立時，公差 0d? ，此時6A B C ?? ? ?） ∴ 2 03 AC?? ? ? ?， ∴ 1 cos ( ) 12 AC? ? ? ?，即 1 1 1c os( )2 2 4AC? ? ? ? ?， 1 1 51 c os ( )2 2 4AC? ? ? ? ∴ 2 1 1 5| | 1 c o s ( ) [ , )2 2 4b c A C??? ??? ? ? ? ? ? ∴ 25| | [ , )22bc??? ??? ?? (10)平面斜坐標系 ： 如圖，在平面斜坐標系 xOy 中， 60xOy??，平面上任一點 P 關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若 12OP xe ye??， （ 其中 12,ee分別為與 x 軸、 y 軸同方向的單位向量 ） ，則 P 點斜坐標為 (, )xy 。 如 (1)已知 ( 1, 2 ), (3, )O A O B m? ? ?，若 OA OB? ，則 m? 解答： ∵ OA OB? ， ∴ =0OAOB ∴ ? ? ? ?1, 2 3, 0m??即 3 2 0m? ? ? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 21 頁 共 26 頁 ∴ 32m? 答案：當 OA OB? ，則 m? 32 （答： 32）； （ 2） 以原點 O 和 A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB， 90B? ? ? ，則點 B 的坐標是 ________ 解答： 設(shè) ? ?,Bxy ∵ 90B? ? ? 即 BA OB? ∴ ? ? ? ?, 4 , 2 0B O B A x y x y? ? ? ? ? ?，即 224 2 0x x y y? ? ? ? ∵ 以原點 O 和 A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB， 90B? ? ? ， ∴ BO AB? ,即 ? ? ? ?2222 42x y x y? ? ? ? ?即 52yx?? 即 224 2 052x x y yyx? ? ? ? ?? ???解得 13xy?????或 31xy??? ??? 答案： 點 B 的坐標 是 (1,3)或（ 3，－ 1） （答： (1,3)或（ 3，－ 1）） ； （ 3） 已知 ( , ),n ab? 向量 nm? ，且 nm? ，則 m 的坐標是 ________ 解答： 設(shè) m =? ?,xy ， ∵ 向量 nm? ，且 nm? ∴2 2 2 20ax bya b x y???? ? ? ?? 解得 xbya??? ??? 或 xbya???? ?? 答案： m 的坐標是 ( , ) ( , )b a b a??或 （答： ( , ) ( , )b a b a??或 ） 十． 線段的定比分點 ： 1． 定比分點的概念 ： 設(shè)點 P 是直線 P1 P2 上異于 P1 、 P2 的任意一點，若存在一個實數(shù) ? ，使 12PP PP?? ，則 ? 叫做點 P 分有向線段 12PP 所成的比， P 點叫做有向線段 12PP 的以定比為 ? 的定比分點； 2． ? 的符號與分點 P 的位置之間的關(guān)系 ：當 P 點在線段 P1 P2 上時 ? ? 0；當 P 點在線段 P1 P2 的延長線上時 ? ? － 1；當 P點在線段 P2 P1 的延長線上時 10??? ? ? ；若 點 P 分有向線段 12PP 所成的比為 ? ，則點 P 分有向線段 21PP所成的比為 1? 。 如 （ 1） 若 M（ 3， 2）， N（ 6， 1），且 MP MN??13 ，則點 P 的坐標為 _______ 解 法 1： 設(shè) ( , )Pxy ， ∵ MP MN??13 ， ? ? ? ?? ? ? ?3 , 2 3 , 2M P x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?6 3 , 1 2 9 , 1MN ? ? ? ? ? ? ? ∴ ? ? ? ?13 , 2 9 ,13xy? ? ? ? 解得： 76, 3xy?? ?? 答案： 點 P 的坐標為 7( 6, )3?? 解 法 2： 設(shè) ( , )Pxy ， 以 P 為分點， ∵ ? ?13M P M N M P P N? ? ? ? ?13 ， ∴ 14MP PN?? ， 1364 611 4x? ? ?? ? ??， ? ?12174
。 ⑨ 222( ) 2a b a a b b? ? ? ? ?成立 （答： ① ⑥⑨ ） 提醒：（ 1） 向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量 等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量， 切記兩向量不能相除 (相約 )； （ 2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律 ，即 cbacba )()( ??? ，為什么？ 八． 向量平行 (共線 )的充要條件 ： //a b a b??? 22( ) (| || |)a b a b? ? ? ? ?1 2 2 2 1 2 1 2( , ) , ,a x y b x y x y y x? ? ? ? ?＝ 0。 解析： ∵ 1tan tan 9AB? ； 22||aa? ， ∴ 9 s in s in c o s c o sA B A B? ∵ 5( c os , c os )2 2 2C A Ba??? ?? ，且 2 2 2 2( , ) , | |a x y a a x y? ? ? ? ∴ 2 225 c o s c o s4 2 2C A Ba??? ??? = 51(1 c os ) [1 c os( ) ]82C A B? ? ? ? 平面向量 概念 、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 第 16 頁 共 26 頁 ∵ △ ABC 中，三個內(nèi)角分別是 A、 B、 C， ∴ A+B+C=π 即 C=π （ A+B） ∴ 2a??? = 5 5 1 1c os( ( ) ) c os( )8 8 2 2A B A B?? ? ? ? ? ? = 9 5 1c os( ) c os( )8 8 2A B A B? ? ? ? = 9 1 9c os c os si n si n8 8 8A B A B?? =98 ∴ ||a??? = 324 （ 8） 已知向量 33(c o s , sin )22a x x??? ? ， (c o s , sin )22xxb??? ??，且 3[ , ]22x ???， 求 ① ab?????? 及 ||ab??? ???? ； ② 求函數(shù) ( ) | |f x a b a b??? ??? ??? ???? ? ?的最小值； ③ 若 ( ) 2 | |f x a b a b???? ??? ??? ???? ? ?的最小值是 32? ，求 ? 的值。 ⑤ 向量的模 ： 22 2 2 2 2| | , | |a x y a a x y? ? ? ? ?。 (6) 已知點 O 為△ ABC 外接圓的圓心，且 0OA OB CO? ? ?，則△ ABC 的內(nèi)角 A 等于 30176。 如 （ 1） 已知 )2,( ????a ， )2,3( ???b ，如果 ?a 與 ?b 的夾角為銳角，則 ? 的取值范圍是 ______ 解答 1： ∵ ?a 與 ?b 的夾角為銳角 ， ∴ a ? b ＞ 0，即 2( , 2 ) ( 3 , 2 ) 3 4 0ab ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 解得 43???或 0?? ，又 ∵ 當 ? 為銳角時， a ? b ＞ 0，且 ab、 不同向， 即 a kb??? ，故當 ? ?( , 2 ) 3 , 2k? ? ?? 時， 13k ??? ∴ 當 ?a 與 ?b 的夾角為銳角 時 ，則 ? 的取值范圍是 43??? 或 0?? 且 13?? （答： 43??? 或 0?? 且 13?? 解答 2： ∵ ?a 與 ?b 的夾角為銳角 ， ∴ a ? b ＞ 0，即 2( , 2 ) ( 3 , 2 ) 3 4 0ab ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 解得 43??? 或 0?? ，又 ∵ 當 ? 為銳角時， a ? b ＞ 0，且 ab、 不同向， ∴ cos 1?? ，即 0?? （或 00?? ） 當 cos 1?? 時， a ? b ＝ ab，解得 13?? ∴ 當 ?a 與 ?b 的夾角為銳角 時 ，則 ? 的取值范圍是 43??? 或 0?? 且 13?? （ 2） 已知 (2, 1)a???， ( ,3)b ??? ， ① 如果 ?a 與 ?b 的夾角為銳角，則 ? 的取值范圍是 ______ ② 如果 ?a 與 ?b 的夾角為 鈍 角