【正文】 (二 ) n 維正態(tài)隨機變量的概率密度 （ 1） 二維正態(tài)隨機變量（ X1,X2）的概率密度 ? ? ? ? ?????????? ?????? ?????????? 2222212121212221))((2)1(2 1e x p121),( ? ??? ???? ??????yyxxyxf 因為 ? ? ? ? ? ? 22222121122111 , ????? ??????? YDcYXC o vccXDc 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 所以（ X， Y）的協(xié)方差矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc = ????????2221 2121???? ???? 記 X= ????????YX, ????????? 21??? 則 (X， Y)的概率密度可寫成 ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCyxf 121e xp2 1, 2122 (2)n 維正態(tài)隨機變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度 記 X=??????????????nxxx?21, ??????????????n????21, n 維正態(tài)隨機變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度定義為 : ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCxxxf nn 121 21e xp2 1, 212? 其中 C是 X1,X2,? ,Xn）的協(xié)方差矩陣 。 教學(xué)過程： （一） 矩 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 設(shè) X,Y 是隨機變量 （ 1）若 E(Xk), k=1,2?，存在，則稱它為 X 的 k 階原點矩 ，簡稱 k 階矩 。 關(guān)于不相關(guān)有如下 定理 ：對于 X,Y，下列等價： ① E(XY)=E(X)E(Y) ② D(X+Y)=D(X)+D(Y) ③ cov(X,Y)=0 ④ X,Y 不相關(guān)，即 ? =0 例 1 設(shè)（ X， Y）的分布律為 Y X 2 1 1 2 P{Y=i} 1 4 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0 1/4 1/2 1/2 P{X=i} 1/4 1/4 1/4 1/4 1 易知， E（ X） =0， E（ Y） =5/2， E（ XY） =0，于是 xy? =0， X， Y 不相關(guān)。 2 協(xié)方差的性質(zhì) （ 1） ( , )CovX Y ＝ ( , )CovY X , ( , ) ( )Cov X X D X? （ 2） ( , ) ( ) ( ) ( )C ov X Y E XY E X E Y?? 我們常用這一式子計算協(xié)方差。例如，在 （ ）式中分別取ε =3σ， 4σ得到： P{| X? |3? }≥ ， P{| X? |4? }≥ 在書末附表 1 中列出了多種常用的隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，供讀者查用。 再者，由上一章167。 解 : X的分布律為： ， k=1,2,?，λ 0. 上 節(jié)例 6 已算得 E（ X） =λ，而 E(X2)=E[X(X1)+X]=E[X(x1)]+E(X)= = 所以方差： D（ X） =E（ X） [E（ X） ]2=λ 由此可知，泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差相等，都等于參數(shù)λ，因為泊松分布只含一個參數(shù)λ，只要知道它的數(shù)學(xué)期望或方差就能完全確定它的分布了。 注意：這里 X 不一定是正態(tài)隨機變量。所以由此并不能比較出哪類手表走得好，但我們從直覺上易得出甲類手表比乙類手表走得較準，這是由于甲的日走時誤差與其平均值偏離度較小，質(zhì)量穩(wěn)定。 2 方差 教學(xué)目的： 使學(xué)生理解掌握隨機變量的方差概念及性質(zhì)，會計算具體分布的方差，熟記常見分布的方差 。 解 ： 引入隨機變量???? 站有人下車，在第 站無人下車在第 i1 i,0x i=1,2,?， 10 易知 X=X1+X2+?? +X10，現(xiàn)在來求 E（ X） 按題意，任一旅客在第 i站不下車的概率為 109 ，因此 20位旅客都不在第 i站下車的概率為 20109??????，遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 在第 i站有人下車的概率為 1— 20109??????，也就是 P{X=0}= 20109??????， P{Xi=1}=1— 20109??????,i=1,2,?， 10 由此， E（ Xi） =1— 20109??????,i=1,2,?， 10 進而 E（ X） = E（ X1+X2+?? +X10） =E（ X1） +E（ X2） +?? +E（ X10） =10 [1— 20109??????]=（次） 本題是將 X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望的，這種處理方法具有一定的普遍意義。如到季末尚有剩余商品，則每公斤凈虧損 l 元 .設(shè)某商店在季度內(nèi)這種商品的銷售量 X(以公斤計 )是一隨機變量， 在區(qū)間 (s1， s2)上服從均勻分布。|)]([)( 其它 ?? yyhyhfyf xY 于是， E（ Y） = ?? ???? ?? dyyhyhyfdyyyf xY |)(39。當(dāng) p已知時，可選定 使 kqk 1? 達最大即 達最小，以 個人為一組進行化驗，將能最大限度地減少化驗次數(shù)。 例 4 一個人數(shù)很多的團體中普查某種疾病，為此要抽驗 N 個人的血，可以用兩種方法進行。 (2)若將這 5 個電子裝置并聯(lián)連接組成整機，求整機壽命（以小時記）M的數(shù)學(xué)期望。 顯然 ,數(shù)值 ??20k kkpx完全由隨機變量 X的概率分布確定 ,而與試驗無關(guān)，它反映了平均數(shù) 的大小。 但是，在實際問題中分布函數(shù)的確定并不是一件容易的事，而且有時我們也不需要知道分布函數(shù)，只需知道隨機變量的某些數(shù)字特征就夠了。例如： 評價糧食產(chǎn)量，只關(guān)注平均產(chǎn)量； 研究水稻品種優(yōu)劣，只關(guān)注每株平均粒數(shù)； 評價某班成績，只關(guān)注平均分數(shù)、偏離程度； 評價射擊水平，只關(guān)注平均命中環(huán)數(shù)、偏離程度。 定義 : :設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 ? ?kkP X x p??， 1,2,3k? ?若級數(shù)1 kkk xp???絕對收斂，則稱級數(shù)1 kkk xp???為隨機變量 X的數(shù)學(xué)期望，記為 ()EX ,即 ()EX ＝1 kkk xp???。 分析 :5 個電子裝置串聯(lián)，整機壽命 ? ?54321 ,m in XXXXXN ? ，并聯(lián)，整機壽命? ?54321 ,m a x XXXXXM ? ，要求 N， M 的數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵求 N,M 的密度函數(shù) ).(),( maxmin xfxf 解 : (1) kX ? ?5,4,3,2,1?k 的分布函數(shù)為 ? ??????? ????.0,0 ,0,1 x xexFx?。（ 1）將每個人的血分別去驗，這就需驗 N次。 例如 p= 即 q= 時可用賦值法求函數(shù) kqk 1? 的最大值： k 2 3 4 5 6 7 ? ? 可見，當(dāng) k=4 時，函數(shù) kqk 1? 有最大值 ，說明以 4 個人為一組進行化驗?zāi)軠p少 40%的工作量。|)]([)( 當(dāng) )(yh? 恒 0 時， E（ Y） = ?? ???? .)()(|)(39。為使商店所獲得利潤的數(shù)學(xué)期望最大，問商店應(yīng)進多少貨 ? 解： 以 s（公斤）表示進貨數(shù)，易知應(yīng)取 21 sss ?? ，進貨 s 所得的利潤記為 ? ?Xax ，則 ? ?Xax 是隨機變量，且有 ? ? ? ???? ??????? ., ,21 sXssb sXslXsbXXa x X的 概率密度為 ? ?????? ????.,0,1 2112其它sssssxf ， ? ?? ? ? ?? ?? ? ?????? ss sss dxsssbdxsslxsbxXaE 1 2 1212 11 ? ? ? ?1221212 22ssslbsbslsslb??????? ??????? 由于 ? ?? ?XaEdsd