【正文】 )+E(X)E(Y) } =2{ E (XY)E(X)E(Y) } 若 X,Y 相互獨立 ,由數(shù)學(xué)期望的性 質(zhì) 40知道上式右端為 0,于是 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 例 6 設(shè) X~b(n,p)，求 E(X),D(X). 解 ：由二項分布的定義知，隨機(jī)變量 X 是 n 重伯努利試驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù)， 且在每次試驗中 A 發(fā)生的概率為 p，引入隨機(jī)變量： 易知 X=X1+X2+? +X n () 由于 X k只依賴于第 k 次試驗，而各次試驗相互獨立，于是 X1， X2，? ， X n相互獨立，又知 X k，k=1,2,??， n服從同一（ 01）分布： ()表明以 n , p 為參數(shù)的二項分布布變量，可分解成為 n 個相互獨立且都服從以 p 為參數(shù)的（ 01）分布的隨機(jī)變量之和 。 解：先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量：???? XZ的數(shù)學(xué) 期望和方差。 再者，由上一章167。 例 8： 設(shè)活塞的直徑（以 cm計） 2( 0 , )XN～ ，氣缸的直徑 2( , )NY～ ， X 、 Y 相互獨立。 解 按題意需求 ? ? ? ?0P X Y P X Y? ? ? ? 由于 ( , )X Y N?? 故有 ? ? ? ?0P X Y P X Y? ? ? ?( ) ( 0 . 1 0 ) 0 ( 0 . 1 0 )0 . 0 0 2 5 0 . 0 0 2 5XYP ? ? ? ? ????????＝ 0 .1 0( ) ( 2 ) 0 .9 7 7 20 .0 5? ? ? ? ? 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 （三）切比雪夫（ Chebyshev）不等式 下面介紹一個重要的不等式 . 定理 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有數(shù)學(xué)期望 E(X)=? ,方差 D(X)= 2? ，則對于任意正數(shù) ? ，不等式? ? 22PX ??? ?? ? ? 成立。 證 ： 就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明。例如，在 （ ）式中分別取ε =3σ， 4σ得到： P{| X? |3? }≥ ， P{| X? |4? }≥ 在書末附表 1 中列出了多種常用的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，供讀者查用。 記住幾種重要分布的方差 （ 1） 0—— 1 分布 ()D X pq? （ 2）二項分布 ()D X npq? （ 3）泊松分布 ()DX?? 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 （ 4）均勻分布 2(()12baDX ?? ） （ 5）指數(shù)分布 2()DX ?? （ 6）正態(tài)分布 2()DX ?? (五 ) 課堂練習(xí)： P140 1 1 19， P141 2 23 課后作業(yè)： P141 1 20， 22 167。 教學(xué)重點、難點 ：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)。 1 定義 稱 { [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X Y E Y??為隨機(jī)變量 X 與 Y 的協(xié)方差。 2 協(xié)方差的性質(zhì) （ 1） ( , )CovX Y ＝ ( , )CovY X , ( , ) ( )Cov X X D X? （ 2） ( , ) ( ) ( ) ( )C ov X Y E XY E X E Y?? 我們常用這一式子計算協(xié)方差。當(dāng) XY? 較大時，則 X 與 Y 的線性相關(guān)程度較好；當(dāng) XY? 較小時，則 X 與 Y 的線性相關(guān)程度較差。 當(dāng) X 與 Y 相互獨立時， X 與 Y 不相關(guān)。獨立性反映 ? 與 ? 之間不存在任何關(guān)系，而不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言的，即使 X與 Y不相關(guān)，它們之間也還是可能存在函數(shù)關(guān)系的。 關(guān)于不相關(guān)有如下 定理 ：對于 X,Y，下列等價： ① E(XY)=E(X)E(Y) ② D(X+Y)=D(X)+D(Y) ③ cov(X,Y)=0 ④ X,Y 不相關(guān)，即 ? =0 例 1 設(shè)（ X， Y）的分布律為 Y X 2 1 1 2 P{Y=i} 1 4 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0 1/4 1/2 1/2 P{X=i} 1/4 1/4 1/4 1/4 1 易知， E（ X） =0， E（ Y） =5/2， E（ XY） =0，于是 xy? =0， X， Y 不相關(guān)。但， P{X=2， Y=1}=0≠ P {X=2}P{ Y=1}，知 X， Y不是相互獨立的。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 例 2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 ,XY（ ） 的概率密度為 21 2 0 1()0y y xf x y ? ? ? ?? ??， 其 它，求 XY? 。 4 矩、協(xié)方差矩陣 教學(xué)目的： 使學(xué)生理解矩、協(xié)方差矩陣的定義及 n維正態(tài)變量的性質(zhì)。 教學(xué)過程： （一） 矩 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 設(shè) X,Y 是隨機(jī)變量 （ 1）若 E(Xk), k=1,2?，存在，則稱它為 X 的 k 階原點矩 ，簡稱 k 階矩 。 （ 3）若 E(XkYl), k,l=1,2?，存在，則稱它為 X 和 Y 的 k+l 階混合矩 。 X 的一階原點矩即為數(shù)學(xué)期望，二階中心矩即為方 差； XY和 的二階混合中心矩即為協(xié)方差。 （ 2）設(shè) n維隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）的二階混合中心矩 : ijc =Cov(Xi,Xj)=E{[XiE(Xi)][YjE(Yj)]}, i,j=1,2,? ,n 都存在 , 則稱矩陣 C=??????????????nnnnnnccccccccc??????212222111211為（ X1,X2,? ,Xn） 的協(xié)方差矩陣。 (二 ) n 維正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度 （ 1） 二維正態(tài)隨機(jī)變量（ X1,X2）的概率密度 ? ? ? ? ?????????? ?????? ?????????? 2222212121212221))((2)1(2 1e x p121),( ? ??? ???? ??????yyxxyxf 因為 ? ? ? ? ? ? 22222121122111 , ????? ??????? YDcYXC o vccXDc 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 所以（ X， Y）的協(xié)方差矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc = ????????2221 2121???? ???? 記 X= ????????YX, ????????? 21??? 則 (X， Y)的概率密度可寫成 ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCyxf 121e xp2 1, 2122 (2)n 維正態(tài)隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度 記 X=??????????????nxxx?21, ??????????????n????21, n 維正態(tài)隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度定義為 : ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCxxxf nn 121 21e xp2 1, 212? 其中 C是 X1,X2,? ,Xn）的協(xié)方差矩陣 。 （ 2） n 維隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）服從正態(tài)分布的充要條件是 X1,X2,? ,Xn 的任意的線性組合 k1X1+ k2X2 +? +knXn服從一維正態(tài)分布（其中 k1,k2,? ,kn不全為零）。 課堂練習(xí) : P141 3 33 課 后作 業(yè) ： P141 32 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案