應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量的數(shù)字特征-閱讀頁
2025-03-19 11:15本頁面
【正文】 絕對(duì)收斂 , 則稱 定義 1 設(shè)連續(xù) . X 的 . 為 )(xf若廣義積分 ? ???? dxxxf )(絕對(duì)收斂 , 則稱此積分為 X 的數(shù)學(xué)期望 記作 E( X ), 即 ? ????? dxxxfXE )()(定義 2 2 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?X 2 0 2 P 0. 4 0. 3 0. 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 ()EX求 例 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 ?????nkknkkn ppkCXE0)1()( ?????? ????? nkknk ppknknnp1)1()1(1 )1()!()!1()!1(?????? ??10)1(1 )1(nkknkkn ppCnpnp?特例 若 X ~ B ( 1 , p ), 則 E(X) p?例 X ~ P (λ), 求 E( X ) . )(~ ?PX,0,2,1,0,!)( ???? ? ?? ? ?kekkXPk??????????00 !)(kkkk ekkkpXE?????????11)!1(kkke ?? ??????0 !kkke ?? ??? ?? ??? ? ee例 3 設(shè) X服從幾何分布， P(X=k)=p(1p)k1, k=1,2,… ， 其中 0p1,求 E(X) 解： 記 q=1p ?????11)(kkkpqXE ????1)39。(kkqp )39。 (2) 若 C是常數(shù)，則 E(CX)=CE(X)。 ?????niinii XEXE11)(][:推廣2( 5 , 10 )3 5 .XNY X E Y??已 知 隨 機(jī) 變 量 ，求 的 數(shù) 學(xué) 期 望5,( 3 5 ) 3 5 20X EXEY E X EX?? ? ? ? ?由 于 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 則所 例 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 若 X表示 n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù) X~B(n, p)， 設(shè) 則 X= X1+X2+…+ Xn ????次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 可見服從參數(shù)為 n和 p的二項(xiàng)分布 的隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望是 np. = np 因?yàn)? P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1p ??niiXE1)(所以 E(X)= E(Xi)= )1(01 pp ????= p 一臺(tái)設(shè)備由三部分構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為 ,和 。 (2)以 X 表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求 X 的數(shù)學(xué)期望。 (2) 若 C是常數(shù) ,則 D(CX)=C2 D(X)。 ( 10 5 ) .DX ?求 X 2 0 2 P 0. 4 0. 3 0. 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 ( 10 5 ) 10 ( ) X D X? ? ?例 X的數(shù)學(xué)期望為 E (X)， 方差為 D(X)0，引入新的隨機(jī)變量 )()(*XDXEXX ??驗(yàn)證 E (X* )=0， D (X* )=1 0)]()([)(1])()([*)( ????? XEXEXDXDXEXEXE1)(1)]([)(1 ???? XDDXXEXDXD ?*)( XD標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望 E(X )、方差 D(X ) 都存在 , 且 D(X) ? 0, 則稱 )()(XDXEXX ???為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 . 1)(,0)( ?? ?? XDX41
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