【正文】 30 設(shè) X， Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(XE(X))(YE(Y)). 特別，若 X， Y相互獨(dú)立，則有： D（ X+Y） =D（ X） +D（ Y） 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。 Z的概率密度為 因 X=μ +σ Z，即得 E（ X） =E（μ +σ Z） =μ； D（ X） =D（μ +σ Z） =E{[μ +σ ZE（μ +σ Z） ]2}=E（σ 2Z2） =σ 2E（ Z2） =σ 2D（ Z） =σ 2 這就是說，正態(tài)分布的概率密度中的兩個(gè)參數(shù)μ和σ分別就是該分布的數(shù)學(xué)期望和均方差，因而正態(tài)分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望和方差所確定。任取一只活塞，任取一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率。設(shè) X的概率密度為 f(x)，則有（如下圖） 切比雪夫（ Chebyshev）不等式 也可以 寫成如下的形式： （ ） 這個(gè)不等式給出了在隨機(jī)變量 X的分布未知的情況下事件 {|Xμ |ε }概率的下限的估計(jì)。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 教學(xué)目的： 使學(xué)生 理解掌握協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)，熟記相關(guān)系數(shù)的含義。記為 ( , )CovXY ,即 ( , )CovX Y ＝ { [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X Y E Y?? 而 ( , )( ) ( )XY Co v X YD X D Y? ?稱為隨機(jī)變量 X 與 Y 的相關(guān) 系數(shù)。 當(dāng) 0XY? ? 時(shí)，稱 X 與 Y 不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)只是 X與 Y間線性相關(guān)程度的一種量度。事實(shí)上， X 和 Y 具有關(guān)系： Y=X2， Y的值完全可由 X 的值所確定。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ：矩、協(xié)方差矩陣的定義及 n維正態(tài)變量的性 質(zhì)。 （ 4）若 E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}, k,l=1,2?，存在，則稱它為 X和 Y的 k+l 階混合中心矩 。 顯然 C 是一個(gè)對(duì)稱矩陣。 （ 3） 若（ X1,X2,? ,Xn）服從 n維正態(tài) 分布，設(shè) Y1, Y2,? ,Yk是 Xj(j=1,2,? ,n)的線性函數(shù)，則（ Y1, Y2,? ,Yk）也服從多維正態(tài)分布 . （ 4） 設(shè)（ X1,X2,? ,Xn）服從 n 維正態(tài)分布，則“相互獨(dú)立與“ X1,X2,? ,Xn 兩兩不相關(guān)”是等價(jià)的。 (三 ) n 維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì) （ 1） n 維正態(tài)變量（ X1,X2,? ,Xn）的每一個(gè)分量 Xi, i=1,2,? ,n 都是正態(tài)分量；反之，若 X1,X2,? ,Xn都是正態(tài)分量，且相互獨(dú)立，則（ X1,X2,? ,Xn）是 n 維正態(tài)變量。 n 維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣 (covariance matrix) （ 1）二維隨機(jī)變量（ X1,X2）有四個(gè)二階中心矩（設(shè)它們都存在），分別記為 11c =E{[X1E(X1)]2}, 12c =E{[X1E(X1)] [X2E(X2)]} 21c = E{[X2E(X2)] [X1E(X1)] }, 22c =E{[X2E(X2)]2}. 則稱矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc 為（ X1,X2） 的協(xié)方差矩陣。 （ 2）若 E{[XE(X)]k}, k=2,3?，存在，則稱它為 X的 k 階中心矩 。 解 230 12 4 0 1( ) ( , )0xxy dy x xf x f x y dy????? ? ? ???? ?????其 它 1 30 4( ) 4 5E x x x dx? ? ?? 1 2212 12 ( 1 ) 0 1( ) ( , ) 0yy y dx y y yf y f x y dx???? ? ? ? ? ???? ?????其 它 1 20 3( ) 1 2 (1 ) 5E y y y yd y? ? ?? 11250 0 0 1( ) 1 2 3 2xE x y d x x y y d y x d x? ? ? ?? ? ? 4 3 1( ) ( ) ( ) ( 5 5 5 0C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ?1） = 2 又 12 2 30 2( ) 4 3E x x x dx? ? ?? 所以 2 2 22 4 2( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 5D x E x E x? ? ? ? ? 112 2 2 4 500 2( ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( ) 5E y y y y d y y y d y? ? ? ? ??? 2 2 22 3 1( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 5D y E y E y? ? ? ? ? 1( ) 6504( ) ( ) 2 175 25XYCo v X YD X D Y? ? ? ? 課堂練習(xí) P141 2 26 課后作業(yè) P141 2 29 167。這表示 X， Y不存在線性關(guān)系。反之，若 X 與 Y 不相關(guān)， X 與 Y 卻不一定相互獨(dú)立 ,該性質(zhì)說明，獨(dú)立性是比不相關(guān)更為嚴(yán)格的條件。 （ 3） ( , ) ( , )C ov aX bY ab C ov X Y? （ 4） ( , ) ( , ) ( , )C ov X Y Z C ov X Z C ov Y Z? ? ? 3 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 （ 1） 1XY? ? （ 2） 1XY? ? 的充要條件是，存在常數(shù) ,ab，使 { } 1P Y a bX? ? ? XY? 的大小表征著 X 與 Y 的線性相關(guān)程度。 教學(xué)過程： 對(duì)于二維隨機(jī)變量 ),( ?? ，我們除了討論 ? 與 ? 的數(shù)學(xué)期望與方差外，還需要討論描述 ? 與 ?之間相互關(guān)系的數(shù)字特征 —— 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)。 (四 )小結(jié)： 方差 ()DX ? ? ?2[ ( )]E X E X? 描述隨機(jī)變量 X 與它自己的數(shù)學(xué)期望 ()EX 的偏離程度；我們常用公式 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X??計(jì)算方差 ,注意 2()EX 和 2[ ( )]EX 的區(qū)別。這一不等式稱為 切比雪夫（ Chebyshev）不等式 。 5中例 1 知道，若 X I ~N（μ ,σ i2）， i=1,2,?， n,且它們它們獨(dú)立，則它們的母性組合： C1X1+C2X2+? +C n X n（ C1， C2，?， C n是不全為 0的常 差的性質(zhì)知道：數(shù)）仍然服從正態(tài)分布，于是由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知道： 1 1 2 2c X c X??? nncX ～ 2211( , )nni i i iiiN c c?????? 這是一個(gè)重要的結(jié)果。 由例 2 知 E(X k)=p , D(X k)=p(1p),k=1,2, ?， n，故知 又由于 X1， X2，? ， X n相互獨(dú)立，得 X k 0 1 p k 1p p 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 例 7 ：設(shè) X~N（μ，σ 2），求 E（ X）， D（ X）。 例 4 設(shè) X~U（ a,b），求 D（ X）。 p=p ， E（ X2） =02對(duì)正態(tài)隨機(jī)變量，結(jié)論也成立。隨機(jī)變量 X 的方差表達(dá)了 X 的取值與其均值的偏離程度。由此可見，我們有必要研究隨機(jī)變量取值與其 數(shù)學(xué)期望值的偏離程度 —— 即方差。它描述了隨機(jī)變量一切可能取值的平均水平。 使學(xué)生理解掌握方差的性質(zhì)，能熟練計(jì)算具體分布的方差，進(jìn)一步熟記常見分布的方差。 （六）小結(jié) 描述變量的平均值的量 — 數(shù)學(xué)期望 離散型 —— 若 X ～ ? ?kkP X x p?? 則 ()EX ＝1 kkk xp??? （絕對(duì)收斂） 連續(xù)型 —— 若 X ～密度函數(shù) ()fx ，則 ()EX ＝ ()xf x dx???? （絕對(duì)收斂） 數(shù)學(xué)期望 ()EX描述隨機(jī)變量 X 取值的平 均大小，要掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算數(shù)學(xué)期望，掌握幾種常用分布的數(shù)學(xué)期望。 例 12 設(shè)一電路中電流 I（ A）與電阻 R（Ω）是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為：? ? ? ? ????? ?????? ???,0,3r0,9rrh,0,1i0,2iig 2其它其它，試求電壓 V=IR 的均值。 證 ：證 3和 4， 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 f(x,y)，其邊緣概率密度為 fX(x),fY(y)， E(X+Y)= ? ?? ?? ? ??? ?????? ?????? ??? ??? dx dyyxyfdx dyyxxfdx dyyxfyx ),(),(),()( =E（ X） +E（ Y）， 3得證