lu分解法、列主元高斯法、jacobi迭代法、gauss-seidel法的原理及matlab程序-免費(fèi)閱讀
【正文】 五、心得體會(huì) 在線性代數(shù)中，從理論上解決了線性方程組的求解問(wèn)題，但常用的高斯消元法有時(shí)會(huì)導(dǎo)致結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重的 偏差，因此需要研究數(shù)值解法。b=[11。kb=[11。x0=zeros(n,1)。66216]。endend functionx=us(A,b)% 求 系 數(shù) 矩 陣 為 上 三 角 方 程 函 數(shù)[n,m]=size(A)。得結(jié)果為 x= 第二題代碼： functionx=lufj(A,b)%lu 分解求值函數(shù)[lup]=lu(A)。end 運(yùn)行結(jié)果為輸入 A=[1103。 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告 pivot=Ab(i,i)。根據(jù)矩陣?yán)碚?，交換 ik 和 k 兩個(gè)方程的位置，列主元素的消去過(guò)程相當(dāng)于對(duì)交換后的新矩陣進(jìn)行消元，即 LkIk,ikAk A(k 1) 同時(shí)，右端向量 b(k)變化為 LkIk,ikbk b(k 1) LU 分解原理： 第頁(yè) 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告 直接三角分解：先將 A 分解為上三角矩陣 U 和下三角矩陣 L（ A=LU），則原為題等價(jià)于求解兩個(gè)方程組： Ly b,Ux y 迭代法 （ 1） jacobi迭代法（又稱簡(jiǎn)單迭代法）考慮 n階線性代數(shù)方程組 a11x1 a12x2 ..... a1nxn b1 ax ax ..... ax b 2112222nn 2 an1x1 an2x2 ..... annxn bn其 矩 陣 形 式 為 Ax b 設(shè)該方程組的系數(shù)矩陣 A 非奇異且 aii 0(i 1,2,.....,n)，可將A 分解為： A D L U 其中 D diag[a11,a22,.....,ann]； 0 a 21L a31 an10a31 an10 an1 0a120 ， U=－ 0 a13a230a1n a2n an 1,n 0 然 后 化 為 如 下 等 價(jià) 形 式 x D 1(L U)x D 1b 簡(jiǎn)記為 x BJx fJ 選取初始向量 x(0) x1,x2 (0)(0) xn(0)T ,通過(guò)上式可得到線性代數(shù)方程組的迭代格式 x(k 1) BJx(k) fJ,(k 0,1,2 ) 其分量形式為 xi即 (k 1)n1k (bi aijxj),(i 1,2, n)(k 0,1,2 )aiii1j 1第 頁(yè) 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告 (k 1)1(k)(k)(k)x (b ax ax ax)11221331nn 1a11 1(k 1)(k)(k)(k)x (b ax ax ax) 222112332nna 221 (k 1)(k)(k)(k)x (b ax ax ax)nnn1n2n,n 1n112 ann 以上計(jì)算過(guò)程稱迭代法，矩陣 BJ陳為 jacobi迭代法的迭代矩陣。 （ 3）在 function文件中命名不能出現(xiàn)“ ”應(yīng)該將其改為下劃線“ _”，所以將 M 文件名“ GaussSeidel(A,b,eps) ”改成“ Gauss_Seidel(A,b,eps)”就解決問(wèn)題了。6。6。2。3。x[%d]=%f\n39。 %求矩陣 LU=Dtriu(A)。 k=k+1。 迭代法的程序 functionJacobi(A,b,eps) %A 為系數(shù)矩陣， b 為后端項(xiàng)矩陣， epe 為精度[m,n]=size(A)。 %開(kāi)始解方程組 Ux=yy(1)=b(1)。 %初始化矩陣 A， b， L和 Un=length(b)。ifflag~=0 第 頁(yè) 南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告 Ab=[A,b]。A(p,:)=t。直接利用矩陣乘法，得到矩陣的三角分解計(jì)算公式為： u1i a1i,i 1,2, ,n li1 ai1/u11,i 2, ,nk 1 ukjakj lkmumj,j k,k 1, ,n m 1,k 2,3, n k 1 l (a lu)/u,i k 1,k 2, ,n且 k n ikikimmkkk m 1 由 上 面 的式 子 得 到 矩 陣 A的 LU分 解 后 ， 求 解 Ux=y的 計(jì) 算 公 式 為 y1 b1 i 1 yi bi lijyj,i 2,3, nj 1 xn yn/unn n xi (yi uijxj)/uii,i n 1,n 2, ,1ji 1 以 上 為 LU分 解 法 。 第 頁(yè) 第二篇： LU 分解法、列主 元高斯法、 Jacobi 迭代法、 GaussSeidel法的原理及 Matlab程序 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募邦}目 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模? （ 1）學(xué)會(huì)用高斯列主元消去法， LU 分解法， Jacobi 迭代法和GaussSeidel迭代法解線性方程組。 （ 3 ） 第 三 題 中 在 用 高 斯 賽 德 爾 方 法 時(shí) 在 matlab 中輸入 GaussSeidel(A,b,eps)結(jié)果程序報(bào)錯(cuò) ???Errorusing==Gauss 。13111]。13111]。66216]。1231]。 k=k+1。 functionGauss_Seidel(A,b,eps) %A 為系數(shù)矩陣， b 為后端項(xiàng)矩陣， epe 為精度[m,n]=size(A)。x=zeros(m,1)。endfork=1:n fprintf(39。fork=2:n U(k,k:n)=A(k,k:n)L(k,1:k1)*U(1:k1,k:n)。x[%d]=%f\n39。 %開(kāi)始消元 A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)m*A(k,k+1:n)。 %找出列中絕對(duì)值最大的數(shù) p=p+k1。然后換行使之變到主元位置上，再進(jìn)行銷元計(jì)算。 實(shí)驗(yàn)題目： ： x1 x2 3x4 4 2x x x x 1 123 4 2x x x 3x 34 123 x1 2x2 3x3 x4 42.用 LU 分解法解方程組 Ax b,其中 12 48 240 4 24241212 b 4 A 0 2 6202 66216 2 Jacobi迭代法和 GaussSeidel迭代法求解方程組： 10x1 x2 2x3 11 8x x 3x 11 234 2x x 10x 63 12 x1 3x2 x3 11x4 25 二、實(shí)驗(yàn)原理、程序框圖、程序代碼等 實(shí)驗(yàn)原理 Gauss 消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知數(shù)，從而將方程組化為等價(jià)形式： b11x1 b12x2 b1nxn g1 b22x2 b2nxn g2bnnxn gn 這 個(gè) 過(guò) 程 就 是 消 元 ， 然 后 再 回 代 就
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