【正文】 (CB) 前提 (3) CB （1），（2）(4) B→A 前提(5) B （1），（4）(6) C （3），（5）(7) D→C 前提(8) D （6），（7）(9) A→D CP，（1），（8）1(PQ)(RQ) （PR）Q證明、(PQ)(RQ) (PQ)(RQ)(PR)Q （PR）Q(PR)Q1P(QP)P(PQ)證明、P(QP)P(QP)(P)(PQ)P(PQ)1（PQ）（PR），(QR)，SPS證明、(1) （PQ）（PR） 前提 （2） P (QR) (1) （3） (QR) 前提 （4） P （2），(3) (5) SP 前提 (6) S (4),(5)1PQ，QR，RS P證明、(1) P 附加前提 （2） PQ 前提 （3） Q （1），（2） （4） QR 前提 (5) R （3），（4） (6 ) RS 前提 （7） R （6） （8） RR （5），（7）1用真值表法證明ＰＱ (ＰＱ)(ＱＰ)證明、列出兩個公式的真值表：P Q PQ （PQ）（QP） F FF TT FT TT TF FF FT T由定義可知，這兩個公式是等價的。1用先求主范式的方法證明(P→Q)(P→R) (P→（QR）證明、先求出左右兩個公式 的主合取范式(P→Q)(P→R) (PQ)(PR) (PQ(RR)))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (P→（QR）) (P（QR）) (PQ)(PR)(PQ(RR))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)它們有一樣的主合取范式，所以它們等價。從而P也為F，即P為T。(4) A 隊獲第一。C: C隊獲亞軍。（1） A 前提 （2） A（BC）前提 （3） BC （1），（2） （4） CA 前提 （5） C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） DB 前提 （8） D （6），（7）2用推理規(guī)則證明PQ, (QR),PR不能同時為真。解：(1) R={0,0,0,2,2,0,2,2}(2) R={1,1,1,2,2,1,2,2,3,1}。從而AA =。從而AA。故BA。證明：若B=，則AB=。 若B，則AB。從而xC。設(shè)A={a,b}, B={c}。（2） B2A={c,c,a,c,c,b}。求下列各集合：（1）AB； （2）；（3）(A)C。 解 ：(1) AB={a}。(5) (AB)(BC)={d,c,a}。對xA, 因為AB，所以xB。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。雖然AB，且BC，但AC。證明：a，b∈A，則{a,b}是A的一個非空子集。若R和S都是非空集A上的等價關(guān)系，則RS是A上的等價關(guān)系。a,b∈A，aRSb，即aRb且aSb。a,b,c∈A，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。故RS是A上的等價關(guān)系。xA，IAR，x,xR。即y,xR，故x,yR_1 。即y,xR， R_1R。即yRx，故R是對稱的。從而R(ST)（RS）（RT）。從而x，yR且y，zS且y，zT，即x，zRS且x，zRT。證明： 設(shè)a,b都是B的最大元，則由最大元的定義ab，ba。MR=。MR=。（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}。1R是A={1,2,3,4,5,6}上的等價關(guān)系，R=I{1,5,5,1,2,4,4,2,3,6,6,3}求R誘導(dǎo)的劃分。 (b) {b,d}。無上確界，下確界是c。(c)的極大元為e,極小元為b。最大元是e，無最小元；上界是e，下界是c。求下列置換的運算：解：（1）=（2）===2試求出8階循環(huán)群的所有生成元和所有子群。因為循環(huán)群的子群也是循環(huán)群，且子群的階數(shù)是G 的階數(shù)的因子，故G的子群只能是1 階的、2階的、4 階的或8階的。因為I,*是無限階的循環(huán)群，則它只有兩個生成元。又因為1和3 關(guān)于*互為逆元，故3 也是I,*的生成元。x=xa=a故(ca)=cd=(ad)。a=aa。證明：設(shè)G,證明：設(shè)G,2試求N6,+6中每個元素的階。是群，a,bG，ae，且a4bbb=b（ab)a=（a2b)b))a))a2 =((ba2)a4。a5= b2I上的二元運算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。（2）記e=2。故4a是a關(guān)于運算*的逆元。令Sa={ai | iI+ }。證明：b，cSa，則存在k,lI+，使得b=ak,c=al。因為k+lI+，所以b是S,若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。證明：用反證法證明。從而假設(shè)錯誤。對aG, 由零元的定義有 a*=。故在元素不少于兩個的群中不存在零元。 所以單位元是惟一的。從而a1也是〈G，*〉的生成元。且當一個元素的階大于2 時，其逆元和它本身不相等。3代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個群，則G除單位元以外無其它等冪元。由于運算*滿足消去律，所以a=e。若x1,x2都滿足要求。從而對于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。b）2=a2b)a)b=((aa) a,bS，因為（a(ab)。b)=a由于(bb)a。證明：對任一aG，由已知可得a*a=e，即a1=a。試證明：（1）aA,a*a=a，即a是等冪元；（2） a,bA,a*b*a=a。由已知條件可得a=a*a。由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。證明：f是G的自同構(gòu)G是交換群。a1)1=(f(b) a。又對aG，有f(a1)=(a1)1=a。b)=(af(b)。證明：由已知可知，G關(guān)于H 有兩個不同的左陪集H，H1和兩個不同的右陪集H，H2。從而aH=Ha=GH。證明：因為H和K都 是G的不變子群，所以HK是G 的子群。HKa1H且ahx=xa,bC（G），對xG,有ab。(bx)(a從而a對aG，hC(G)，記b=a因為hC(G)，所以b=(aa1=h4設(shè)G,否則設(shè)G,從而G一定是循環(huán)群，且a是G 的生成元。從而n是質(zhì)數(shù)。試證：HK={e}。先證HK也是G的子群，從而也是H和K的子群。b,a1 K。由拉格朗日定理可知，|HK|是|H|和|K|的因子，這與已知矛盾。設(shè)a的階為k,則k1。故a是G的生成元。 故T,是S,的子獨異點。故mp且m|p。由于p和m都是正整數(shù)，所以p=m。 由消去律得 amk=e。若c是G的生成元，則k,mI，分別滿足c=ak和a=cm。故c=a或c=a1。則ar=akmq=akamq=b(am)q。故am是H的生成元。因此n階循環(huán)群的子群的個數(shù)恰為 n的正因子數(shù)。故|H|=d。因為|H|=d，所以m==k，即H=H1。否則H＝(am)，其中am是H中a 的最小正冪。證明：(1) 因為h(e1)h(e1)=h(e1e1)= h(e1)= e2h(e1),所以h(e1)=e2。因為HG，所以ab ∈H ，故cd∈h(H)。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。即|a|m。5有限群G的每個元素的階均能整除G的階。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的階能整除G的階。若G沒有4階元素，則除單位元e外，G的其余3個階均為2。同理可得ac=ca=b, cb=bc=a, ba=c。從而a1的階是有限的，且|a1|k。若AB=G，則A=G或B=G。因為aA,所以aA。綜合可得a*bAB=G，這與已知矛盾。因為G的階數(shù)為奇數(shù)2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 階元素，即除了單位元e以外，G的所有元素的階都大于2。60、設(shè)S=，Q為有理數(shù)集合，*為S上的二元運算：對任意(a,b)，(c,d)S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),求出S關(guān)于二元運算*的單位元，以及當a0時，(a,b)關(guān)于*的逆元。解得a=1,b=0。解得c=,d=。存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，則R是G上的等價關(guān)系。a,b∈G，若aRb，則存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。a,b,c∈G，若aRb,bRc,則存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。即R是傳遞的。故h1=（h2a）a1=h2H。由（2）可知（h1）1∈H,從而h1H。故b=(ah) (a1a)=(aha1)a。故b=(aa1) (ha)=a(a1ha)=a(a1h(a1)1)。從而H是G的不變子群。下證eR為關(guān)于運算*的右單位元。類似地，記方程y*a=a的唯一解為eL。G,*是半群，運算*滿足結(jié)合律。對bG，記c為方程b*x=e的惟一解。b*e=b,且方程b*x=b有惟一解，d=e。6設(shè)G，*是群， H和K都是G的子群，令HK={h*s | s∈K，h∈H}, KH={s*h |s∈K,h∈H},HK,*，KH,*是G的子群的充分必要條件是HK=KH。因為c=（a從而HKKH。b1）1。b1）1HK。對c，dHK，有a1,a2H,b1,b2K ,使得c=a1d=( a1b1)a2))a2 =a3（b1b3）)b2)。從而ca11。綜上所述，HK是G的子群。對aHK，有hH，kK，使得a=hkh1K。故HK=KH。k。(ha1)因為H和K都是G的不變子群，所以aa1K。故HK是G 的不變子群。在a*b=c*b*a兩邊同時右乘b，再由a*b=c*b*a得a*b=(c*b*a)*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=…=(c*b)*a, 再由b*c=c*b及b 的階為n得 a=a*b= (c*b)*a=(c*b)*a=c*a, 所以c=e。 由此可見，k是m和n的公因子，從而能整除m和