【正文】 =b。即eL*a=a。對bG，記方程y*a=b的惟一解為y。6在半群G,*中，若對a,bG，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，則G,*是一個群。由于a1h(a1)1∈H，所以b∈aH。由于aha1∈H，所以b∈Ha。故a1HaH 。故 aHa1H。綜上所述，R是G上的等價關(guān)系。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。因為H、K是G的子群，所以h1∈H且k1∈K。證明：a∈G，因為H、K是G的子群，所以e∈H且e∈K。 所以(a,b)關(guān)于*的逆元為(,)。所以S關(guān)于*的單位元為(1,0)。解：設(shè)S關(guān)于*的單位元為(a,b)。故對G中的任一非單位元a，它的逆元a不是它本身，且G中不同的元素有不同的逆元。從而假設(shè)錯誤，得證A=G或B=G。若a*bA,則b= a*(a*b)A，這與aB矛盾。證明：用反證法證明。同理可證，a的階小于等于|a1|。5在一個群G,*中，若G中的元素a的階是k，即|a|=k，則a1的階也是k。不妨記為a,b,c。5證明：在同構(gòu)意義下，只有兩個四階群，且都是循環(huán)群。證明：設(shè)|G|=n，aG，則|a|=m。故|h(a)|=|a|。從而h(a)的階也有限，且|h(a)|n。又c1=(h(a))1=h(a1)且a1∈H，故c1∈h(H)。(2) a∈G1，h(a)h(a1)=h(aa1)= h(e1)= e2,h(a1)h(a)=h(a1a)= h(e1)= e2,故h(a1)=h(a)1。d=。從而H是G的惟一d階子群。所以是G的一個d階子群。證明：對n 的每一正因子d，令k=,b=ak, H={e,b,b2,…,bd1}。（2）因為{e}H，故H的生成元為am （m0）。因為b,amH, 且HG，所以arH。從而G只有兩個生成元a和a1。從而c= (cm)k= cmk。從而|a|mkn。即｜ak｜＝。又由于akm=e，n|km。4設(shè)G,是群，且a∈G的階為n，k∈I，則|ak|＝，其中(k,n)為k和n的最大公因子。4若S,是可交換獨(dú)異點(diǎn)，T為S中所有等冪元的集合，則T,是S,的子獨(dú)異點(diǎn)。由拉格朗日定理，k是p的正整因子。4素數(shù)階循環(huán)群的每個非單位元都是生成元。從而aa,b HK,則a,b H且a,bK。證明：用反證法證明。故G是質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。若n是合數(shù)，則存在大于1 的整數(shù)k,m，使得n=mk。的階為n。是沒有非平凡子群的有限群。(ah) hb，a1C（G）。b), a1b=(xx)= a故（ax=xa}。a1HK。ha1。a1，對aG，hHK，有a故H是G的不變子群。因為HH1=且HH1=G，HH2=且HH2=G，故H1=GH=H2。故f滿足同態(tài)方程。b)1=(b故f是G到G上的滿函數(shù)。故運(yùn)算f(a))1=(f(b證明： 設(shè)f 是G的自同構(gòu)。從而由已知條件知，a*b*c=a*c。（2）a,bA,因為由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。（3） a,b,cA,a*b*c=a*c。對任一a,bG，因為a*b=(a*b)1=b1*a1=b*a，所以運(yùn)算*滿足交換律。故b。b)，即(b滿足消去律，所以(b(a故ab)=(ab）2=a2(ba)b=(a(ab2。3設(shè)半群S,即ax1=b且ax2=b。 即G除單位元以外無其它等冪元。證明：設(shè)e是該群的單位元。故階大于2 的元素是成對的。3在一個偶數(shù)階群中一定存在一個2階元素。3設(shè)a是一個群〈G，*〉的生成元，則a1也是它的生成元。3證明在一個群中單位元是惟一的。 G,是群，關(guān)于*消去律成立。即e0。假設(shè)e=0。因為e是關(guān)于運(yùn)算的單位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。的子半群。cSa，即Sa關(guān)于運(yùn)算從而b試證Sa, 綜上所述，I,*為群。對aI，a*2=a+22=a=2+a2=2*a.。試證：I,*為群。a4。因為a4a2=ba)a2=((a(aa)（ba=(a2b）= a3a。a。b=b解： 0是N6,+6中關(guān)于+6的單位元。是有限群，則aG，有|a|=|a1|。是偶數(shù)階群，則由于群的元素中階為1 的只有一個單位元，階大于2 的元素是偶數(shù)個，剩下的元素中都是階為2 的元素。故c1H。c,且從而cc) (ad) c,da}。2設(shè)G,1和3是它的兩個生成元。因為|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是該子群中a的最小正冪，故G的所有子群除兩個平凡子群外，還有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。解：設(shè)G是8階循環(huán)群，a是它的生成元。上確界是e，下確界是c。最大元是e，b是最小元；上界是e，下界是b。(b)的極大元為b,d,極小元為b,d。 (c) {b,e}。解：R誘導(dǎo)的劃分為{{1,5},{2,4},{3,6}}。（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}解：（1）和（2）都不是A的劃分。它既不是自反的、反自反的、也不是對稱的、反對稱的、傳遞的。它是反自反的、反對稱的、傳遞的；（2）R={1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2}。是A上的偏序關(guān)系，a=b。故x，z（RS）（RT） 。同理可證（RS）（RT）R(ST)。1設(shè)A,B,C和D均是集合，RAB，SBC，TCD，則(1)　　R(ST)=(RS)(RT)；(2)　　R(ST)(RS)(RT)；證明：（1）x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。故R=R1。從而RR1。即xRx，故R是自反的。1設(shè)RAA，則R自反 IAR。因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以aRc且aSc。因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以bRa且bSa?！∽C明：a∈A，因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以xRx且xSx?！苁茿上的良序關(guān)系，{a,b}有最小元。(4) 成立。雖然AB，且BC，但AC。又因為BC，所以xC。 (6) (AB) C={b,d}。 (2) ={a,b,c,d,e}。 （4）P(A)P(B)。（3） (AB)2={a,c,a,c,a,c,b,c,b,c,a,c,b,c,b,c}。求下列集合：(1) A{0,1}B； (2) B2A；(3) (AB)2。故BC。從而AC。從而AC =。同理可證，AB。對, x,xBB。故A=。(3) R={1,1,1,1,2,2,3,3}。證明、 (1) PR 前提 (2) P (1) (3) PQ 前提 (4) Q (2),(3) (5) (QR) 前提 (6) QR (5) (7) Q (6) (8) (4),(7)(7) 證明或解答：（數(shù)理邏輯、集合論與二元關(guān)系部分）列出下列二元關(guān)系的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={x,y|x,y}。D: D隊獲亞軍。結(jié)論: (5) D隊不是亞軍。從而(P→Q)(QR) P2為慶祝九七香港回歸祖國，四支足球隊進(jìn)行比賽，已知情況如下，問結(jié)論是否有效?前提: (1) 若A隊得第一，則B隊或C隊獲亞軍。(P→Q)(QR) P證明、設(shè)(P→Q)(QR)為T，則P→Q和(QR)都為T。1P→QP→(PQ)證明、設(shè)P→(PQ)為F，則P為T，PQ為F。答：1，單位元，04在一個群〈G,*〉中，若G中的元素a的階是k，則a1的階是( )。答：單位元，14素數(shù)階群一定是( )群, 它的生成元是( )。答： （1） ab （2） b設(shè)a是12階群的生成元， 則a2是( )階元素，a3是( )階元素。答：（1）R={1,1,4,2,6,3} (2) R={1,1,2,4,(3，6}3設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R1的關(guān)系矩陣。答：（1）R={1,1,4,2} (2) R={1,1,2,4}2舉出集合A上的既是等價關(guān)系又是偏序關(guān)系的一個例子。1永真式的否定是（ ）(1) 永真式　(2) 永假式　(3) 可滿足式　(4) (1)(3)均有可能答：（2）1公式(PQ)(PQ)化簡為（ ），公式 Q(P(PQ))可化簡為（ ）。答：所有人都不是大學(xué)生，有些人不會死設(shè)P：我生病，Q：我去學(xué)校，則下列命題可符號化為( )。( )(1) 北京是中華人民共和國的首都。 $z C(y，z))174。B(y，x))217。若是，給出命題的真值?！?5) 前進(jìn)！ (6) 給我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F(xiàn) （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是命題“存在一些人是大學(xué)生”的否定是( )，而命題“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：2不是偶數(shù)且3不是負(fù)數(shù)。答：x(R(x)Q(x))（二元關(guān)系部分）2設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求(1)R (2) R1 。答：R={1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,2,6,3,6}3設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R (2) R1 。答：2，63設(shè)A={3,6,9}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=min{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)A,*中，單位元是( )，零元是( )；答：9，3（半群與群部分）3設(shè)〈G,*〉是一個群，則(1) 若a,b,x∈G，ax=b，則x=( )；(2) 若a,b,x∈G，ax=ab，則x=( )。答：5，104群G,*的等冪元是(　　)，有(　　　)個。答：H,是群 或 a，b G， abH，a1H 或 a,b G，ab1H 4群＜A,*＞的等冪元有(　　　)個，是(　　　)，零元有(　　　)個。(1) 2階　　(2) 3 階 (3) 4 階 　(4) 6 階答：(3)（數(shù)理邏輯部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式： (P→Q)R　 解：(P→Q)R(PQ )R(PR)(QR) （析取范式）(P()R)((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((P→Q)R)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)( PQR)（原公式否定的主析取范式）(P→Q)R(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）(PR)(QR)P 解： (PR)(QR)P（析取范式）(P()R)((PP)QR)(P()(RR))(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)( PQR)( PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (主析取范式)（(PR)(QR)P）(PQR)(P