【正文】 +c2)2=a+b+c4。（2）記e=2。故e=2是I關(guān)于運(yùn)算*的單位元。故4a是a關(guān)于運(yùn)算*的逆元。2設(shè)S,令Sa={ai | iI+ }。是S,證明：b，cSa，則存在k,lI+，使得b=ak,c=al。c=ak因?yàn)閗+lI+，所以b封閉。是S,單位元有惟一逆元。若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。即單位元有惟一逆元。證明：用反證法證明。對(duì)A的任一元素a，因?yàn)閑和0是A上關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元和零元，則a=a*e=a*0=0。從而假設(shè)錯(cuò)誤。3證明在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。對(duì)aG, 由零元的定義有 a*=。 a=e。故在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。證明：設(shè)e1,e2都是群〈G,*〉的單位元。 所以單位元是惟一的。證明：xG，因?yàn)閍是〈G，*〉的生成元，所以存在整數(shù)k，使得x=a。從而a1也是〈G，*〉的生成元。證明：群中的每一個(gè)元素的階均不為0 且單位元是其中惟一的階為1的元素。且當(dāng)一個(gè)元素的階大于2 時(shí)，其逆元和它本身不相等。從而階為1的元素與階大于2 的元素個(gè)數(shù)之和是奇數(shù)。3代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個(gè)群，則G除單位元以外無(wú)其它等冪元。若a是G,*的等冪元，即a*a=a。由于運(yùn)算*滿足消去律，所以a=e。3設(shè)G,是一個(gè)群，則對(duì)于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。若x1,x2都滿足要求。故ax1=ax2。從而對(duì)于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。中消去律成立，則S,b）2=a2證明：a,bS，（ab)b)=((aa)(ab=((ab)a)b)=a2 a,bS，因?yàn)椋╝b2，所以(a(aa)b)。((bb)=a(b由于a)(ba)b)從而aa。滿足交換律。證明：對(duì)任一aG，由已知可得a*a=e，即a1=a。 從而＜G,*＞是交換群。試證明：（1）aA,a*a=a，即a是等冪元；（2） a,bA,a*b*a=a。證明：（1）aA,記b=a*a。由已知條件可得a=a*a。故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，從而a*b*a=a。由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。4設(shè)G,證明：f是G的自同構(gòu)G是交換群。對(duì)a，bG，aa1)1=(f(b) a))1=((ba。滿足交換律 ，即G是可交換群。又對(duì)aG，有f(a1)=(a1)1=a。從而f是G到G上的自同構(gòu)。b)=(aa)1=a1f(b)。從而f是G 的自同構(gòu)。證明：由已知可知，G關(guān)于H 有兩個(gè)不同的左陪集H，H1和兩個(gè)不同的右陪集H，H2。對(duì)aG，若aH，則aH=H,Ha=H。從而aH=Ha=GH。4設(shè)H和K都 是G的不變子群。證明：因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以HK是G 的子群。hHhK因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以aa1H且aa1K。h故HK是G 的不變子群。x=x證明C（G）是G的不變子群。a,bC（G），對(duì)xG,有aa ，bb。b）(b(xx)a)(ax=x從而a 故C（G）是G 的子群。對(duì)aG，hC(G)，記b=aa1。因?yàn)閔C(G)，所以b=(aa1=（ha1=ha1)=hC(G)。4設(shè)G,試證：G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。否則設(shè)G,任取aG且ae,記H=（a）(由a生成的G的子群)。從而G一定是循環(huán)群，且a是G 的生成元。記H={e,ak,(ak)2,…,(ak)m1}，易證H是G 的子群，但1|H|=mn，故H是G 的非平凡子群。從而n是質(zhì)數(shù)。綜上所述，G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。試證：HK={e}。若HK{e}。先證HK也是G的子群，從而也是H和K的子群。因?yàn)镠和K都 是G的子群，故 ab,a1 K。b HK,a1 HK。由拉格朗日定理可知，|HK|是|H|和|K|的因子，這與已知矛盾。證明：設(shè)G,*是p階循環(huán)群，p是素?cái)?shù)。設(shè)a的階為k,則k1。因?yàn)閜是素?cái)?shù)，故k=p。故a是G的生成元。證明： ee=e，eT，即T是S的非空子集。 故T,是S,的子獨(dú)異點(diǎn)。證明：記p=,q=,｜ak｜＝m。故mp且m|p。即p|qm。由于p和m都是正整數(shù)，所以p=m。50、設(shè)G,是有限群，|G|＝n，則a∈G，|a|n。 由消去律得 amk=e。5設(shè)G＝(a)，若G為無(wú)限群，則G只有兩個(gè)生成元a和a1；證明：bG＝(a)，則nI,使b=an。若c是G的生成元，則k,mI，分別滿足c=ak和a=cm。若km1，則由消去律可知c的階是有限的，這與|G|無(wú)限矛盾。故c=a或c=a1。5設(shè)G＝(a)，{e}HG，am是H中a 的最小正冪，則（1） H＝(am)；（2） 若G為無(wú)限群，則H也是無(wú)限群；證明：（1）bH, kI, 使得b=ak。則ar=akmq=akamq=b(am)q。由于0rm，且am是H中a 的最小正冪，故r=0,即k=mq。故am是H的生成元。因?yàn)镚是無(wú)限群，所以a的階是無(wú)限的，從而am的階也是無(wú)限的，故H也是無(wú)限群。因此n階循環(huán)群的子群的個(gè)數(shù)恰為 n的正因子數(shù)。因?yàn)閨a|=n,所以bd=(ak)d=akd=an=e且|b|=d。故|H|=d。設(shè)H1是G的任一d階子群。因?yàn)閨H|=d，所以m==k，即H=H1。設(shè)H是G的惟一的d階子群。否則H＝(am)，其中am是H中a 的最小正冪。故d是n的一個(gè)正因子。證明：(1) 因?yàn)閔(e1)h(e1)=h(e1e1)= h(e1)= e2h(e1),所以h(e1)=e2。(3) c,d∈h(H),a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。因?yàn)镠G，所以ab ∈H ，故cd∈h(H)。(H)G2。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。設(shè)|h(a)|=m,則h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。即|a|m。若a的階是無(wú)限的，則類似于上述證明過(guò)程可以得出，h(a)的階也是無(wú)限的。5有限群G的每個(gè)元素的階均能整除G的階。令H={e,a,a2,…,am1}。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的階能整除G的階。證明：在4階群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的階只能是1，2或4。若G沒(méi)有4階元素，則除單位元e外，G的其余3個(gè)階均為2。因?yàn)閍,b,c的階均為2，故a1=a,b1=b,c1=c。同理可得ac=ca=b, cb=bc=a, ba=c。證明：因?yàn)閨 a |=k，所以ak=e。從而a1的階是有限的，且|a1|k。故a1的階也是k。若AB=G，則A=G或B=G。若AG且BG，則有aA,aB且bB,bA。因?yàn)閍A,所以aA。從而a*bA。綜合可得a*bAB=G，這與已知矛盾。5設(shè)e是奇數(shù)階交換群G,*的單位元，則G的所有元素之積為e。因?yàn)镚的階數(shù)為奇數(shù)2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 階元素，即除了單位元e以外，G的所有元素的階都大于2。由此可見，G中的2n個(gè)非單位元構(gòu)成互為逆元的n對(duì)元素。60、設(shè)S=，Q為有理數(shù)集合，*為S上的二元運(yùn)算：對(duì)任意(a,b)，(c,d)S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),求出S關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元，以及當(dāng)a0時(shí)，(a,b)關(guān)于*的逆元。根據(jù)*和單位元的定義，對(duì)(x,y)S,有(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。解得a=1,b=0。當(dāng)a0時(shí)，設(shè)(a,b)關(guān)于*的逆元為(c,d)。解得c=,d=。6設(shè)G,*是一個(gè)群，H、K是其子群。存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，則R是G上的等價(jià)關(guān)系。令h=k=e,則a=e*a*a=h*e*k,從而aRa。a,b∈G，若aRb，則存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。故a=h1*a*k1,從而bRa。a,b,c∈G，若aRb,bRc,則存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。因?yàn)镠、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。即R是傳遞的。6設(shè)H是G的子群，則下列條件等價(jià)： （1） H是G的不變子群；（2） a∈G，aHa1H；（3） a∈G，a1HaH；（4） a∈G，h∈G，aha1H。故h1=（h2a）a1=h2H。(2)(3) a∈G，對(duì)h∈H,令h1=a1ha，則（h1）1= ah1a1。由（2）可知（h1）1∈H,從而h1H。(3)(4) 類似于（2）(3)的證明。故b=(ah) (a1a)=(aha1)a。即aHHa。故b=(aa1) (ha)=a(a1ha)=a(a1h(a1)1)。即HaaH。從而H是G的不變子群。證明：任意取定aG，記方程a*x=a的惟一解為eR。下證eR為關(guān)于運(yùn)算*的右單位元。G,*是半群，運(yùn)算*滿足結(jié)合律。類似地，記方程y*a=a的唯一解為eL。下證eL為關(guān)于運(yùn)算*的左單位元。G,*是半群，運(yùn)算*滿足結(jié)合律。 從而在半群G,*中, 關(guān)于運(yùn)算*存在單位元，記為e。對(duì)bG，記c為方程b*x=e的惟一解。記d=c*b。b*e=b,且方程b*x=b有惟一解，d=e。從而c為b關(guān)于運(yùn)算的逆元。6設(shè)G，*是群， H和K都是G的子群，令HK={h*s | s∈K，h∈H}, KH={s*h |s∈K,h∈H},HK,*，KH,*是G的子群的充分必要條件是HK=KH。cHK，則c1HK，故存在aH,bK ,使得c1=a因?yàn)閏=（aa1。從而HKKH。a。b1）1。b1HK。b1）1HK。故HK=KH。對(duì)c，dHK，有a1,a2H,b1,b2K ,使得c=a1b2。d=( a1(a2b1)b2=( a1a2))因?yàn)閎1a2 =a3從而c（b1b2=(a1b3）)a3)b2)。a3H, b3從而c又c1=(a1a11。從而c1KH。綜上所述，HK是G的子群。證明：HK也是G 的不變子群。對(duì)aHK，有hH，kK，使得a=h因?yàn)閍=hkh，且K是G 的不變子群，所以hh1K。從而HKKH。故HK=KH。下證HK是G的不變子群。k。b(ha1=(aa1)k因?yàn)镠和K都是G的不變子群，所以aa1H且aa1K。b故HK是G 的不變子群。若a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b，且a,b的階分別為m,n，則c的階整除m與n的最大公因子(m,n)。在a*b=c*b*a兩邊同時(shí)右乘b，再由a*b=c*b*a得a*b=(c*b*a)*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=…=(c*b)*a, 再由b*c=c*b及b 的階為n得 a=a*b= (c*b)*a=(c*b)*a=c*a, 所以c=e。 由a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b得a*b=b*a*c，兩邊同時(shí)左乘a，再由a*b=b*a*c得a*b=a*(b*a*c)= a* (a*b)*(a*c)= a*(b*a*c)*(a*c) = a*b*(a*c)= a*(a*b)*(a*c)= a*(b*a*c)*(a*c)= a*b*(a*c)=…=b*(a*c), 再由a*c=c*a及a 的階為m得 b= a*b= b*(a*c)=b* a * c=b*c, 所以c=e。 由此可見，k是m和n的公因子，從而能整除m和