[理學(xué)]席第09講 隨機變量數(shù)字特征-預(yù)覽頁
【正文】 a例 8: 設(shè) X 的概率密度為 .0,bexf x5 ?? ? x)(其中 b為未知常數(shù) , 求 b， E(X 2) 5}5e x p {55}5e x p {100bdxxbdxxb???????????提示 : 從而 b=5 二 . 方差的性質(zhì) 性質(zhì) 1: 若 X=C， C為常數(shù) ， 則 D(X)=0 性質(zhì) 2: 若 C為常數(shù) ,隨機變量 X的方差存在 ， 則CX的方差存在 ， 且 D(CX) = C 2D(X) 性質(zhì) 3: 若 D(X), D(Y )存在 ， 則 D(X?Y)= D(X )+ D(Y) ? 2E(XEX)(YEY) 證明如下 : ) ] }() ] [({[2)()() ] }() ] [({[2}))({(}))({(}) ) ](())({ [ (})](){ [ ()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD?????????????????????性質(zhì) 4： 若隨機變量 X,Y相互獨立 ， 它們的方差都存在 ， 則 X?Y的方差也存在 ， 且 D(X?Y)=D(X)+D(Y) 證明提示 : 若隨機變量 X,Y相互獨立，則 0)}()()({2)}()()()()()()({2)}()()()({2) ] }() ] [({[2?????????????YEXEXYEYEXEYEXEYEXEXYEYEXEXYEYXEXYEYEYXEXE推論 1: 若隨機變量 X1,X2,… ,Xn相互獨立，它們的方差都存在，則 X1+X2+...+Xn的方差存在，且 ? ?? ??n1in1iii )D ( X)XD(推論 2: 若隨機變量 X1, X2 ,… , Xn獨立同分布 ， 它們的方差都存在 ， 則 X1+X2+...+Xn的方差存在 ， 且 )()(11???nii XnDXD性質(zhì) 5: D(X)=0 P(X= C)=1， 這里 C=E(X) xC1P(X= x) ?(證明略 ) 例 9： 設(shè)隨機變量 X 的方差 D(X)存在 , 且 D(X)?0令 )()(XDXEXX ???其中 E(X)是 X的數(shù)學(xué)期望 ， 求 ).D ( X)( ?? 和XE (標(biāo)準(zhǔn)化 隨機變量 , 見書 p122123例 1) 答案 : .1)D ( X,0)( ?? ??XE三．契比雪夫（ Chebyshev）不等式 定理：設(shè)隨機變量 X 的方差 D(X)存在 ， 則對任意的 ? ? 0， 均有 2)(}|)({|?? XDXEXP ???或等價地 2)(1}|)({|?? XDXEXP ????(證明自己看一看 , 見書 p128. 下面看一個應(yīng)用 ) 例 10 在每次試驗中，事件 A發(fā)生的概率為 , 利用契比雪夫不等式求： n需要多么大時，才能使得在 n次獨立重復(fù)試驗中 , 事件 A出現(xiàn)的頻率在 ~ ? 的最小的 n . 900760740 .)..( ??? nXP所求為滿足 E(X)=, D(X)=*= 解：設(shè) X為 n 次試驗中，事件 A出現(xiàn)的次數(shù)， 則 X~b(n, ) 解：設(shè) 為 次試驗中，事件 出現(xiàn)的次數(shù)，則 =P( ) = P{ |XE(X)| } P( X ) )( ?? nXP可改寫為 2)()(1nXD??nn??n18751 ??)( ?? nXP在契比雪夫不等式中取 n，則 0 .0 1?? = P{ |XE(X)| } 187 187 5 ???n解得 依題意，取 ?? n 即 n 取 18750時，可以使得在 n次獨立重復(fù) 試驗中 , 事件 A出現(xiàn)的頻率在 ~ 概率至少為 . 作業(yè)： 2, 3, 7(2), 9, 10, 13, 14, 19
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