[理學(xué)]席第09講隨機(jī)變量數(shù)字特征-wenkub
2022-12-23 00:51:28 本頁面
【正文】 167。 方差的計算公式 (1) 若 X為離散型隨機(jī)變量 ， 其分布律為 pi = P(X=xi), i=1, 2, ... , 且 D(X )存在 ， 則 ))(()( 2i? ??iipXExXD 由定義可知，方差是隨機(jī)變量 X的函數(shù) g(X)=[XE(X)]2的 數(shù)學(xué)期望 . （ 2）若 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f(x)，且 D(X)存在，則 （ 3）若隨機(jī)變量的方差 D(X)存在，則 )())(()( 2? ???? dxxfXExXD22 )()()( EXXEXD ??證明如下 : 2222222)]([)()]([)()(2)(})]([)(2{})]({[)(XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD??????????例 2： 設(shè) X?b(n,p)， 求 D(X) npXXEXEXXEXE??????))1(()())1(()( 2解 : 例 1： 設(shè) X?b(1, p)， 求 D(X) pqqpqpXDpXE????????22 )1()0()()(解 : 22222220)1()()1()!()!2()!2()1()!(!!)1()1())1((pnnqppnnqpknknpnnqpknknkkqpCkkXXEnknnkkknnkkknnkkkn???????????????????????????npqnpnppnnXEXEXD???????2222)()1()]([)()(從而 : 例 3： 設(shè) X??(?)， 求 D(X) 答案 : ??)( XD例 4： 設(shè) X?U[a,b]， 求 D(X) 答案 : 12)()( 2abXD ??例 5： 設(shè) X 服從參數(shù)為 ?的指數(shù)分布，求 D(X)。 2） 當(dāng) X 服從某分布時 ， 我們也稱某分布的方差 為 D(X)。購進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)售出， 1kg獲純利 ；一周內(nèi)沒售出，1kg需付耗損、儲藏等費(fèi)用 。 今從中任取 n(假定 n ? NM)件 ， 記這n件中所含的次品數(shù)為 X， 求 E(X ) 答案 : NnMXE ?)(Example 15 設(shè) X 的概率密度為 其中 a, b為常數(shù)，且 E（ X） =3/5。 2. 若 k是常數(shù)，則 E(kX)=kE(X)。若 絕對收斂， 則 Y 的數(shù)學(xué)期望存在，且 kkk pxg? )( )()]([)( ???kkk pxgXgEYE （ 2） 設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量 , 其概率密度為 f (x)，且 Y= g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量。而它的一些數(shù)字特征較易確定，人們只需要知道它的某些數(shù)字特征 . 在 實(shí)際應(yīng)用中，人們有時更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征 . 此外，對于一些常見分布， 如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等 ，其中的參數(shù)恰好是分布的 某些 數(shù)字特征 . 只要能夠確定分布的數(shù)字特征，也就能夠完全確定分布 . 在這一章中，我們主要研究以下數(shù)字特征 : 數(shù)學(xué)期望，方差 , 相關(guān)系數(shù)和矩 下面先討論數(shù)學(xué)期望 一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例 1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 . 車工小馬每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個隨機(jī)變量 . X的分布律為 2,1,0,)( ??? ipiXP i 現(xiàn)觀測 N天 ，發(fā)現(xiàn)有 n0天出現(xiàn) 0個廢品，有n1天出現(xiàn) 1個廢品，有 n2天出現(xiàn) 2個廢品。 現(xiàn)在我們開始學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征 討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的原因如下： 在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的概率分布一般是較難確定的。 例 2： 已知 X 的分布如下 X 100
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