【正文】 ?xxxF 解 注意到函數(shù) F(x)在 上下降， 不滿足性質(zhì) (1)，故 F(x)不能是分布函數(shù) . ],2[ ??不滿足性質(zhì) (2)， 可見 F(x)也不 能是 的分布函數(shù) . 或者 0)(lim)( ???? ??? xFF x 解 設 F(x) 為 X 的分布函數(shù)， 當 x 0 時 ， F(x) = P(X x) = 0 ? 0 a 當 x a 時 ， F(x) =1 例 3 在區(qū)間 [0， a] 上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)點的坐標 . 設這個質(zhì)點落在 [0, a]中意 小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比 ，試求 X 的分布函數(shù) . 當 0 x a 時 ， P(0 X x) = kx (k為常數(shù) ) ? ? ??由于 P(0 X a) = 1 ka=1， k = ??? 1/a ? ? F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x) ? =x / a 0, 0( ) , 01,xxF x x aaxa????? ? ??????故 這就是在區(qū)間 [0， a]上服從均勻分布的連續(xù)型 隨機變量的分布函數(shù) . （ 2）連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 f(x),其分布函數(shù)為： ? ?( ) P X ( )xF x x f t d t??? ? ? ?連續(xù)性隨機變量的分布函數(shù) F(x)一定是連續(xù)函數(shù)，且 ( ) ( ) ( ) .f x F x f x? ?在 的 連 續(xù) 點 處 有 ：概率密度函數(shù) f(x)與分布函數(shù) F(x)的關(guān)系為 x 0 f(x) ( ) ( ) ( )xF x P x f t d t??? ? ? ?Ｘx ( ) ( ) ( )f x f x F x??因 此 對 于 的 一 切 連 續(xù) 點 有例 . 設隨機變量 X具有概率密度 ⑴確定常數(shù) k； ⑵求 X的分布函數(shù) F(x)； ⑶求 P{X≤}. ??? ????其它,020,1)(xkxxf????????????????????其它的概率密度為，于是解得，得由解,020,121)(211)1(1)()1(30xxxfXkdxkxdxxf? ? .)(}{)3(2,120,410,0)()()2(2?????????????????????FFXPxxxxxdxxfxFXx的分布函數(shù)為2. 5 2 2. 51. 5 1. 5 222 2. 51. 5 2{ X } ( ) ( 1 ) 021 62 5 62 54||xP x dx dx dxxx?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?或2用兩種方法計算 P{X}的示意圖 1 2 0 x f(x) 1 2 0 x F(x) 例 .設某種電器系統(tǒng)的電壓 X是隨機變量 ,它的分布函數(shù)為 ,0F ( ) 10 , 0xxx xx???? ??? ??0x ?（ 1）求 X的概率密度函數(shù) f(x)； （ 2）求 P{2X5}. P{X3}. P{X1}. 解 （ 1）在 處， F(x)具有連續(xù)導數(shù)，故 21,0( 1 )( ) F ( )0 , 0xxf x xx???? ??? ?? ??而在 x=0處 f(x)可取任意給定的值 ,例 f(x)= 21,0( 1 )()0 , 0xxfxx????? ?? ??（ 2） P{X3}=F（ 3） =3/4 P{2X5}=F(5)F(2)=5/6. P{X1}=1P{X≤1}=1F(1)=11/2=1/2 X～ U(a,b). 分布函數(shù)為： 連續(xù)型隨機變量 X概率密度 ????????????.,1,0)(bxbxaaxabaxxF)(xfxbaoab?1)( xFxbao1均勻分布的密度函數(shù)與分布函數(shù) X～ N(?,?2) 連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 其中 ?,?(?0)為常數(shù) ,21)( 222)(????????xexfx???? 分布函數(shù)為 ： .21)(222)(? ?????xtdtexF ????)( xfx?o正態(tài)分布密度函數(shù)圖示 )(xFx?o1正態(tài)分布分布函數(shù)圖示 設連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 其中 ?0為常數(shù) ????? ???.,0,0,1)(其它xexfx ??分布函數(shù) .,0,0,1)(其它???? ??? xexFx ?隨機變量函數(shù)的分布 若 X是離散型隨機變量，其分布列為 則 Y=g(x)仍為離散型隨機變量，其分布列為 yi有相同值時，要合并為一項，對應的概率相加。( ) { } { ( ) }{ X g ( ) }( ) [ ( ) ] .YYYF y P Y y P g X yPyf y F y?? ? ? ????然 后 求例 X具有概率密度 求隨機變量 Y=2X+8的概率密度。 ??????????????????????????.0,0,0)],()([21)()()()(}{}{}{)(0.0)(00)()(),(,22yyyfyfyyfYyyFyFyFyXyPyXPyYPyFyyFyXYyFYyFxFYXXXYYXXYYYYX的概率密度為求導數(shù)，即得關(guān)于將時有當時，故當。 ?,改變 ?，曲線沿 Ox軸平移； 固定 ?, 變小 ? ，曲線變得越尖 ，因而 X落在 ?附近的概率越大。如人的身體特征指標 (身高、體重 )，學習成績，產(chǎn)品的數(shù)量指標等等都服從正態(tài)分布。 (1)若 d=90，求 X89的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為 80的概率不低于 ，問 d至少為多少？ 190 89 90{ 89 } 89 90( 2)1 ( 2) 1 .XP X P????? ? ????????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?解 （ ） 所 求 概 率 為( 2)80 { 80 } 80 8011 801 0 99 1 ( 7 ) ( 7 )80dX d dP X PX d d dPddd????? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?????????按 題 意 需 求 滿 足即 。解： Ｘ可取２，３， … ，概率分布為 （二）概率分布已知，相關(guān)問題的計算 ４．設 離散型隨機變量 Ｘ 的概率分布為 X 0 1 3 7 P 0. 2 5 0 . 2 α 0 . 3 求 （１） α；（２）分布函數(shù)；（３） Ｐ ｛０＜ Ｘ ＜５｝ 解： (1)由 得 α＝ 1??k kp????? xx kkpxXPxF }{)().2(??????????????????7100xxxxx（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝ =Ｐ｛ X=1}+P{X=3}= （三）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計算 ５．設離散型隨機變量 Ｘ 的分布函數(shù)為 ??????????????????5,153,31,10,0,0)(xxxxxxF求（１） Ｘ 的概率分布； （２） Ｐ ｛１ ≤X＜５｝； 解： (1) P{X=0}=F(0)F(00) == P{X=1}=F(1)F(10) == P{X=3}=F(3)F(30) == P{X=5}=F(5)F(50) == （２） Ｐ ｛１ ≤X＜５｝ =F(50)F(10) == (四）幾種重要分布 ６．一射手對同一目標獨立地進行４次射擊，每次射擊的命中 率相同，如果至少命中一次的概率為 80/81，求該射手的命中率． 解： 設 該射手的命中率為 p, 命中次數(shù)為 Ｘ ，則 Ｘ ～ B(4,p) 由題意得 P{X≥1}=80/81, 所以 P{X＝ 0}=1/81 即 (1p)4=1/81 , 所以 p=2/3 ，設每個飲料瓶是否被打破相互 獨立，每個飲料瓶被打破的概率 ，求商店收到破碎瓶子數(shù) 分別是 (１ )恰有２只； (２ )小于２只； (３ )至少是１只的概率． 已知 e3= 解： 設收到的破碎瓶子數(shù) 為 Ｘ ，則 Ｘ ～ B(1000,) 由于 n較大， p較小，可用泊松定理作近似計算 λ＝ np=3 (1) P{X=2}≈(32/2!)e3≈ (2) P{X＜ 2}= P{X=0}+ P{X=1}≈ (30/0!)e3 +(31/1!)e3 =4e3 ≈ (3) P{X≥1}= 1 P{X=0}≈ 1 e3 ≈ 二、連續(xù)型隨機變量 （一）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計算 １．設連續(xù)型 隨機變量Ｘ的分布函數(shù)為 ????????? ?0,00,)( 22xxBeAxFx求 （１）Ａ和Ｂ； （３）隨機變量Ｘ的概率密度； }22{)2( ?? XP解： (1)利用 F(+∞)=1,及 F(x) 在 x=0處的連續(xù)性得： A=1 A+B=0 所以Ａ＝１， B= 1 ???????? ?0,00,)( 22xxexFx１－即：}22{)2( ?? XP=F(2) )2(F? 21 ?? ?? ee)()()3( xFxf ???????????0,00,22xxxex(二）概率密度已知， 相關(guān)問題的計算； ２． 設連續(xù)型 隨機變量Ｘ的概率密度為 ?????? ?000)( 22xxeAxxf x求（１）Ａ； }210{)2( ?? XP }21{)3( ?XP解：由概率密度的性質(zhì)得： 1)( ?? ??? dxxf而 ?? ? ???? ? 0 22)( dxeAxdxxf x?? ? ??? ? ??0220228dtetAdxexA ttxx4)3(8AA ???所以 A=4 }210{)2( ?? XP?? ??? 21022210 4)( dxexdxxfx1251 ??? e0}21{)3( ??XP 隨機變量 Ｘ 的概率密度為 ???????????其它021210)( xxxxxp求分布函數(shù) Ｆ (x)． 解 由于 p ( x ) 是一個分段函數(shù)，相應的積分 ???xdttp )( 也應分段來求