【正文】 ??式中 n是截面的單位外法線； σ是二階應(yīng)力張量； p是外法 線為 n截面上的應(yīng)力矢量 。 即是二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。使得當(dāng)所有 x滿足： ??? || 0xx時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)都有： ??? |)()(| 0xfxf則稱 f (x)在 x0點(diǎn)連續(xù)。 設(shè)張量函數(shù)為 F (A) 。 i1, i2, i3}下，張量函數(shù) F ( A )可表示為： ss iiiiF iiAAF ?? 11 )()( ?將這一表示形式代入（ ）式得： 1 1 1 10 0 011 00l i m ( ) l i m [ ( ) ] l i m ( )( ) ( )s s s sssi i i i i i i iA A A A A Ai i i iFFF? ? ???????????F A A i i A i iA i i F A這表明張量函數(shù) F ( A ) 的每一個(gè)分量函數(shù)（分量函數(shù)本身 是 r 階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)） )3,2,1,(),( 11 ?sii iiAF s ??在 A0 點(diǎn)是連續(xù)函數(shù)。即認(rèn)為張量函數(shù)都是自變量張量的連續(xù)函 數(shù)。則稱 Φ是 各向同性的 。記： )()( 11 rr iiiiQ iQiQΦ ??? ??? （ ） 那么 Φ是各向同性的，則： QΦΦ?若 Φ是 Ψ 張量函數(shù)。 證： i） ( ) ( ) 。試證明： i） IAAAAAAAF )()()()( 32213 III ????是各向同性張量函數(shù)。則： 223 2 2 3( ) ( )( ) ( )???????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?A u uA u A A u A u uA u A A u A u u3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]I I I I I I? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A u A A u A A u A I u A A A u∵ A的特征方程 0)()()( 32213 ???? AAA III ???∴ 3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]() I I I I I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?A u A A u A A u A I u A A A A A A I uF A u o又 ∵ u≠0 ∴ OAF ?)(iii） ∵ )()]([])[()()()(1 cbacAbacbAacbaAA??????????????I)()]()[()]([)(])[()()(2 cbacAbAacAbaAcbAaAA?????????????????I取 jiijA iiAicibia ???? , 321 則： 1 1 2 2 3 3。此時(shí)取 r1⊥ r2 ⊥ r3。 , , )F F F ? ? ?? ? ? ?Q A Q A r r r對(duì) A有： 1 1 1 2 2 2 3 3 3。 , , ) ( , , 。,(),。右邊的 F也只是 λ1,λ2 ,λ3的函數(shù)，而與 321 , rQrQrQ ???無(wú)關(guān)。因此若要兩邊是同一個(gè)函數(shù)，則 F( ，兩個(gè)不同 A)只能是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)。因此最后得 F(A)是各向同性函數(shù) 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?應(yīng)當(dāng)注意的是： 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F F I I I? ? ???A A A A中 F和 F 是同一函數(shù)的不同變量表示。 例 5： 設(shè) A=A*。 二、對(duì)稱二階張量自變量二階張量值各向同性函數(shù) 引理 1： 若 F(A)是二階對(duì)稱張量 A的二階張量值各向同性函 數(shù)。 當(dāng) F(A)是各向同性函數(shù)時(shí)，對(duì)任意正交二階張量 Q有： *)()( QAQFQAFQ ?????當(dāng) Q = R時(shí) ： *)(*)( RARFRAFR ?????∵ * ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )[ 2 ( ) ] ( 2 ) 4 ( ) 2 2 ( )4 2 2 ( )? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?Q A Q rr I A rr I rr A I A rr Ir r A rr I rr r r rI r A r r A Irr rr r r A A∴ ( ) * ( * ) ( )? ? ? ? ? ?R F A R F R A R F A又 ∵ rRrrR ???? （ a） ∴ ( ) * ( ) 。 [ ( ) ] ( )? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?R F A R F A F A R R F A R Rr F A R r R F A r F A R r F A（ c） 由（ a）（ b）（ c）可知 r、 F(A) 由 于 r、 F(A) r 、 r )( rrAF（ d） （ e） 將第一式兩邊右點(diǎn)乘 r，第二式兩邊左點(diǎn)乘 r。 證畢。由線性無(wú)關(guān)定義可知，只 有當(dāng) μ 1=μ2=μ3= 0時(shí)： OAAI ??? 2321 ???設(shè) λ λ λ 3對(duì)應(yīng)的特征矢量為 r1, r2, r3。其系數(shù)行列 式： 2112 2 2 2 2 22 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 22333 2 2 3 1 3 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 3 13 2 3 1 2 11 ( )1 ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( )1 ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?∵ ∴ 321 ??? ?? 0??。則： ?????????orAIorAI221121)()(???????????00221211?????? （ h） 。顯然有： orI ???∵ 。當(dāng)且僅當(dāng)： i） 321 ??? ?? 時(shí)： 2210 )()()()( AAAAIAAF ??? ??? （ ） ii） 321 ??? ?? 時(shí)： AAIAAF )()()( 10 ?? ?? （ ） iii） 321 ??? ?? 時(shí)： IAAF )()( 0?? （ ） 其中 λ λ λ3是 A的特征值； 0 1 2( ) ( ) ( )? ? ?A A A、 、稱張量自變量主不變量的標(biāo)量值函數(shù)。 1 , 2 , 3iiiI I II I I i???? ? ? ? ? ? ? ? ???Q A Q Q A Q Q A Q Q A QA A A∴ 2210 *))((*)()(*)( QAQAQAQAIAQAQF ????????? ???顯然有： *)(*)( QAQFQAFQ ?????這表明當(dāng) F(A)表示為（ ）式形式時(shí)是各向同性函數(shù)。且： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3。同理可得（ ）和（ ）式。由（ ）式： 2210 )()()()( AAAAIAAF ??? ???若 F(A)是線性張量函數(shù)。t r F? ? ? ?? ? ?F A A I A 、（ ） 例 7： 設(shè) A是四階各向同性張量； 11 1 1 22 2 2 33 3 3 。 : 。且記極限 值為 )(xf ?數(shù)時(shí)，由于張量函數(shù)的自變量是張量，且張量的除法是沒(méi) 有意義的。因此在張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義中必須能夠反映 所有自變量改變（包括增加、減少和方向的不同）的情況 。一部 分是 Δx的線性部分，另一部分是 Δx的高階小量部分（非 非線性部分）。若 Ψ (Φ)是 r 階張量自變量的 S 階張量值線性函數(shù)。 （ ）式給出了 Ω的確定表達(dá)式。）因此有： OΦΩΩ ?? ? ))(( r∵ ?Φ O∴ ΩΩ?Ω存在的唯一性得證。 若 Ψ實(shí)現(xiàn)基底變換： 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3{ , , , , , , , , } { , , , , , , , , }?i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i試求 Ψ(Φ)的 r 點(diǎn)乘表示式中的 Ω 。 ( ) 。 1 。最后得： 33332332133132232222122131132112111133333 3 3 323322 3 3 213311 3 3 132233 2 2 322222 2 2 212211 2 2 131133 1 1 321122 1 1 211111 1 1 1iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiΩ???????????????????????????設(shè) F是 s階張量； A是 r階張量； V是 A的增量。定義（ ）式中 LA(V )當(dāng) || V || →0 時(shí)，是 r階張量自變量 A的 s階張量值函數(shù) F在 A處沿 V方 向的微分。 ) ( )rddd ??FAF A V VA（ ） ()( ) ( ) ( ) ( || ||)rd od ?? ? ? ?FAF A V F A V VA（ ） 式中 ()d dFAA 稱為張量函數(shù) F(A)在 A處的導(dǎo)數(shù)。 例 9： 設(shè) V 中標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系為 {o。{ 11 ?sii iis ?? iiPs和 Pr張量空間基底為 和 }3,2,1,。由 商法則可知 ()ddFAA是 r + s 階張量。 )dF dFd ?A V A VA∴ 00(): ( * 。V )是各向同性函數(shù)。 解： 22020200( 。 ( ) ( ) ( ) ( )2 6 2 3I tr I tr tr I tr tr tr tr? ? ? ? ? ?A A A A A A A A A A1[ ) ] ( ) *r rd tr ( rd??A AA∴ 1222133323222()1( ) ( )21 d( )2 2 *2*1 1 1( ) ( )6 2 31 ) 1 ) 1 ) ] 1 ) ]( ) )2 2 2 31()23dI d t rdddI dt r t rddtrtrdIdI dt r t r t r ( ) t rddd(tr d(tr d[ t r ( d[ t r (t r t r ( t rd d d dtr??????????????????????????? ? ?????? ? ? ??AIAAAAAAAAAAIAA A A AAAA A A AA A AA A A AA222211( ) ( ) * ( ) *2* ( ) *t r t rII? ? ?? ? ?I A I A A AI A A例 13： 試求 F (A) = det A的導(dǎo)數(shù)。矢量 u都可由 a,b,c線性表示。當(dāng)將一元實(shí)函數(shù)推廣到一般張量函數(shù)時(shí)，兩個(gè)張量函 數(shù)的積函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算由推廣的 Leibniz法則給出。若線性映射 ? 使得： ? ? ? ?1 2 1 21 1 1 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aba b a b??? ? ? ???? ? ? ?F A F A G A G AF A G A F A G A F A G A F A G A則稱映射 ? 是張量函數(shù)的乘積運(yùn)算。一元實(shí)函數(shù)的乘積運(yùn)算 只有一種。則 )()()( AGAFAH ?? 在 A處亦可微。試求 f = φ ( x ) u ( x )的微分。 ) : ( ) :