【正文】 A)是各向同性函數(shù)。如二元實函數(shù)： 的函數(shù)形 22( , ) 。 ∴ 1 1 1 2 32 2 1 2 33 3 1 2 3( ( ) , ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A AA A AA A A1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F F I I I? ? ???A A A A另一方面 )(),(),( 321 AAA III 是各向同性函數(shù)（見習(xí)題 ）。那么等式兩邊的函數(shù)是兩個不同的函數(shù)。, rQrQrQrrr ???或者說左邊 F只是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)，而與 r r2 、 r3 不是 F的自變量?？偞嬖?Q使得： 1 1 2 2 3 3。 ( * ) 。,()( 321321 rrrA ???FF ?∵ F (A) 是各向同性函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng) F (A)可表示為 A的不變量 I1(A)， I2(A)， I3(A)的函數(shù)： 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F I I I?A A A A （ ） 證： 設(shè) A的特征值為 λ λ2 、 λ3，對應(yīng)的特征矢量為 r r r3。 （ ） iii） 12223 2 33()1( ) [ ( ) ( ) ]21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 2 3I t rI t r t rI t r t r t r t r???? ? ?AAA A AA A A A A（ ） 證： i） ∵ IAQAQAQAQAQAIQAQAQAQAQAQAFQ)(*)(*)()(*)(*)(*)(*)()(*)(*3221332213IIIIII????????????????????????321 2 31 2 3321 2 3( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) * ( )* * * ( ) * * ( ) * ( )* ( ) * ( ) * ( )Q I I II I II I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F A Q A Q A Q A Q A Q A Q A IQ A Q Q A Q Q A Q A Q A Q Q A Q A Q A Q A IQ A Q A Q A Q A Q A Q A I∴ )(* QAFQFQ ???F(A)是各向同性張量函數(shù)。 證： ∵ 1* * ( t r ) *1* ( t r ) *1* ( t r )EEEEEE???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?Q ε σ σ I σ Q σ Q I σ Q σ I∴ )( σεε ?( ) ( * )1* t r ( * )1* [ t r ( * )1* ( t r )QEEEEEE??????? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?ε σ ε Q σ σ σ QIQ σ Q σ Q Q IQ σ Q σ I是各向同性張量函數(shù)。 簡稱 Φ (Ψ )是各向同性張量函數(shù)。則稱 Φ 是各向同性張量函數(shù)。 各向同性張量函數(shù) 對 Φ∈ Pr ,作為 r 個 V 中矢量的張量積的線性表示。 關(guān)于張量函數(shù)連續(xù)性的更深入的理論分析主要是針對函數(shù) 在 A0 是否連續(xù)以及在 A0 點不連續(xù)時的性質(zhì)等。使得當(dāng)所有的自變量張量 A 滿足： ??? |||| 0AA時，對應(yīng)的張量函數(shù)都有： 0|| ( ) ( ) || ???F A F A （ ） 則稱 F( A ) 在 A0 點連續(xù)。由實函數(shù)理論 | x x0 |和 | f (x) – f (x0) |按距離的概念分別代表了實數(shù) x和 x0 離概念的引入使得一元實函數(shù)的連續(xù)性可以推廣到張量函 的距離及給定的 x和 x0的函數(shù)值 f (x)和 f (x0)的距離。設(shè)一元實函數(shù)為 f (x) 。因此 p n的函數(shù)（不同截面上的應(yīng)力矢量不同）。該點的應(yīng)力 狀態(tài)可由應(yīng)力張量 σ 表示。 ( x )是矢量自變量 的標(biāo)量值函數(shù)。 （ a）設(shè)矢量 a是 V中任意給定的矢量； x是 V中的矢量?；蚍Q F (A)是 二階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)。 3． r=1， s=1時： Φ記為 u， F記為 f，則： )(: ufuf ? （ ） F (u)稱為一階張量自變量的一階張量值函數(shù)。 f (x)就是一元 實函數(shù)。若存在映射 F 使得： )(: ΦFΦF ? （ ） F(Φ )是 r階張量自變量的 s階張量值函數(shù)。||||),(（ ） （ ） 一、張量函數(shù) 設(shè) V是三維 Euclid 矢量空間， {o。 0 , 0? ? ? ? ? ? ? ?A A A A A A⊙（ ） 對任意 Pr中的張量 A, B∈ P 。按第一章第四節(jié)的標(biāo)量積可以 定義 A,B∈ P的標(biāo)量積： 11 1, 。 1111 ??? riiiiii iiA rrr ???? ?? （ ） 那么 )3,2,1,( 11 ?rii iiA r ??的滿足（ ）的每一組 3 r個取值確定 一個 A。設(shè) Pr是由 V張成的 r 階張量空間。本章的 主要內(nèi)容旨在解決上述問題。第四章 張量函數(shù)和張量分析 在前面三章中主要對集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論，并由多 重線性映射引入了張量空間。 張量函數(shù) 設(shè) V是三維 Euclid矢量空。且對任意 r 階張 量 A∈ Pr ，有： )3,2,1,(。而滿足（ ）的所有 A構(gòu)成 Pr的一個子集合，且 稱這一子集合為 Pr的一個閉集（若等號不成立則稱為開集） 。 ( , , 1 , 2 , 3 )rri i i i rA B i i? ? ? ? ?A B A B⊙ （ ） 容易證明 ??, 具有下列性質(zhì)： i）對稱性： , , 。由（ ）式可引入張量的 模和兩張量之間的距離。 i1, i2, i3}是 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正 交坐標(biāo)系。張量函數(shù)的自變 量取值的開集 ( 或閉集 ) Φ ∈ P ? Pr 的 P 稱為張量函數(shù)的 定義域；張量函數(shù) F(Φ )的所有定義域中 Φ 的取值集合（ s 階張量集合）稱為張量函數(shù)的值域。 2． r=1， s=0時： Φ記為 u； F記為 f。或稱 f (u)是 矢量自變量的矢量值函數(shù)。 5． r=2， s=2時： Φ記為 A； F記為 F。則： ii xa?? xa式中 f ( )取為法則 a 函數(shù)可寫為： xax ??)(f而對同一個 a及變矢量 x： kjiijk xae ixa ??式中 f ( )取為法則 a ( ) 。對確定的受力物體，同一點不 同截面上的應(yīng)力可由該截面的外法線矢量和應(yīng)力張量表示 。即： ()( ) :? ? ?? ? ? ?p p n σ np σ n σ n（ c）第三章例 23給出的： Iσσε )(1 trEE ?? ???式中應(yīng)變二階張量 ε =ε (σ )是應(yīng)力二階張量的函數(shù)。若對任意給定的正數(shù) ε， 總存在著一個正數(shù) δ 。正是距 數(shù)的連續(xù)性定義。 對張量函數(shù) F ( A )，若（ ）式成立，則該式也可寫成 極限的形式： 0 0l im ( ) ( )AA? ?F A F A（ ） 這一表達(dá)式中： rrrr iiiiiiii AA iiAiiA ?? ?? 1111 )( 00 ???表示： 11 01( ) ( , 1 , 2 , 3 )rri i i i rA A i i??在 V 中的坐標(biāo)系 {o。而本章的 所有分析總是假定張量函數(shù) F ( A )在自變量的定義域的每 一點都連續(xù)的。如果對 Φ 中線性表示的每一個由 r 個 V 中矢量張量積的項都作用 任意給定的正交二階張量 Q ，而 Φ不發(fā)生變化。對任意給定的二階正 交張量 Q。 例 2： i） ii） iii） )()( uQfufQ ???*)()( QAQA ??? FF*)(*)( QAQFQAFQ ?????其中 u、 A是矢量和二階張量； f、 F、 F是矢量值、標(biāo)量值 和二階張量值函數(shù)。 例 4： 對任意二階張量 A。 ii） 設(shè) A的特征值為 λ，特征矢量為 u ≠ o。則由譜表示定理（ ）式： 333222111 rrrrrrA ??? ???（如果有相等的特征值時，總存在三個相互正交的三個特 征方向。對任意 Q ： 1 2 3 1 2 3( * ) ( ) ( , , 。 ( * )x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r∴ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( * ) ( , , 。? ? ? ? ? ?Q r r Q r r Q r r因此若要： ),。 無關(guān) 。此時 321 , rQrQrQ ???的函數(shù)的函數(shù)值相等。當(dāng)： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?時 F(A)是各向同性函數(shù)。 3 , 4f x y x x y x s t y t? ? ? ? ?則： 22 2 2 2 2 3( , )( , ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) 9 6 1 2 4f x y x x yf s t s t s t t s s t t s t t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證畢。 證畢。則： rrAAr ?????由 r構(gòu)造二階張量： IrrR ?? 2對任意 u∈ V ： ( ) ( ) [ ( 2 ) ] [ ( 2 ) ]4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?R u R u r r I u r r I ur r r u r u r u r u u u u u因此由 r構(gòu)造的 R是正交二階張量。 ( ) ( ) , ( * )( ) ( ) 。同時 r還是二階對稱張量 A的特征矢量?；蛘哒f r、 F(A) )( rAFrF??? ?? 。 ( )??? ? ? ?r F A r F A r r這表明 F(A)所具有的左、右特征矢量 r與 A所具有的左、右 特征矢量 r相同。 證： i） 若 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。 ( )????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?A r A A r A r rA r r A r r∴ 將 2 ( 1 , 2 , 3 )ii i? ? ?A r A r、 ； 代入（ f）式得： ????????????????0)(0)(0)(323231322221321211???????????????（ g） 這是關(guān)于 μ μ μ3的齊次線性代數(shù)方程組。則當(dāng) μ1 = μ2 = 0 時： OAI ?? 21 ??取 321 , ??? ? 對應(yīng)的特征矢量為 r1, r2。 iii） 取 321 ??? ?? 對應(yīng)的特征矢量為 r。 定理： 二階對稱張量自變量的二階張量值函數(shù) F(A)是各向 同性的。即： 0 0 1 2 31 1 1 2 32 2 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A A AA A A AA A A A由習(xí)題 ： 1 2 31 2 3( * ) ( ( * ) , ( * ) , ( * ) )( ( ) , ( ) , ( ) ) 。當(dāng) A的特征值 321 ??? ?? 時，由引理 1可知 F(A)與 A有相同的特征矢量 r1, r2 , r3。即： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?F A r r r r r r A I A A A A A該式即為（ ）式。