微分中值定理推廣及其應用畢業(yè)論文-全文預覽
【正文】 定理證明. 泰勒公式法當題設中出現(xiàn)高階導數(shù)（三階或三階以上的導數(shù)）時，通?？煽紤]使用泰勒公式證明中值點的存在性.例 設函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導數(shù)，且，.試證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.證明：由，得在處的二階泰勒公式為 （介于0與之間，）.由題設知 ， ，兩式相減，可得.又在區(qū)間連續(xù)，從而在上也連續(xù)，故在區(qū)間上有最大值和最小值.從而有，由介值定理知，至少存在一點，使得. 兩個中值點的情形在證明兩個中值點存在性的命題時，通?？煽紤]使用兩次中值定理.例 函數(shù)在上連續(xù)，在可導，試證:存在，使得.分析：結論中兩點只要存在即可，不要求一定不同，然后尋求兩個結論之間的關系.證明：令，易知與在上連續(xù)，在可導，且.由柯西中值定理知,存在，使得即 ，.而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上兩式得:存在，使 即 .微分中值定理應用非常廣泛(在使用時應特別注意驗證定理的條件) ,以上只介紹了幾種常見的應用. 通過對微分中值定理的研究,加深了對微分中值定理的理解,有助于更好掌握該定理的解題應用.四小結：微分中值定理是微分學的基本定理，而且它也是微分學的理論核心，有著廣泛的應用?，F(xiàn)在我們返回來看題目，由題目中我們可以知道在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導，由函數(shù)的連續(xù)性和求導的概念，可以得到函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。這表明羅爾定理是拉格朗日的定理的一個特殊情形.證明：做輔助函數(shù)顯然，(=0),且在上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在使，移項既得到所要證明的（1）式.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線,我們在證明中引入輔助函數(shù)，正是曲線與直線.三、微分中值定理的應用：（1） 根的存在定理若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點，.（2） 若函數(shù)的原函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件，則在內(nèi)至少有一個零值點.（3） 若函數(shù)的原函數(shù)在處導數(shù)也存在，由費馬定理知即.（4） 若函數(shù)的原函數(shù)在處導數(shù)也存在，由費馬定理知即.（5） 在證明方程根的存在性的過程中，經(jīng)常用到拉格朗日定理，積分中值定理，有時也用到柯西中值定理來證明滿足方程的存在性所需的條件，然后利用上的方法來證明方程根的存在性.例 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明在內(nèi)方程。充分理解微分學的相關知識，掌握微分中值定理的內(nèi)容，并會熟練的應用。通過查閱大量資料文獻和網(wǎng)上查閱，我找到了很多相關資料。通過對這兩個定理進行分析
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