微分中值定理推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 定理證明. 泰勒公式法當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)（三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)）時(shí)，通?？煽紤]使用泰勒公式證明中值點(diǎn)的存在性.例 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.試證：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證明：由，得在處的二階泰勒公式為 （介于0與之間，）.由題設(shè)知 ， ，兩式相減，可得.又在區(qū)間連續(xù)，從而在上也連續(xù)，故在區(qū)間上有最大值和最小值.從而有，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使得. 兩個(gè)中值點(diǎn)的情形在證明兩個(gè)中值點(diǎn)存在性的命題時(shí)，通?？煽紤]使用兩次中值定理.例 函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，試證:存在，使得.分析：結(jié)論中兩點(diǎn)只要存在即可，不要求一定不同，然后尋求兩個(gè)結(jié)論之間的關(guān)系.證明：令，易知與在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且.由柯西中值定理知,存在，使得即 ，.而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上兩式得:存在，使 即 .微分中值定理應(yīng)用非常廣泛(在使用時(shí)應(yīng)特別注意驗(yàn)證定理的條件) ,以上只介紹了幾種常見(jiàn)的應(yīng)用. 通過(guò)對(duì)微分中值定理的研究,加深了對(duì)微分中值定理的理解,有助于更好掌握該定理的解題應(yīng)用.四小結(jié)：微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，而且它也是微分學(xué)的理論核心，有著廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在我們返回來(lái)看題目，由題目中我們可以知道在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，由函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)的概念，可以得到函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。這表明羅爾定理是拉格朗日的定理的一個(gè)特殊情形.證明：做輔助函數(shù)顯然，(=0),且在上滿(mǎn)足羅爾定理的另兩個(gè)條件，故存在使，移項(xiàng)既得到所要證明的（1）式.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線,我們?cè)谧C明中引入輔助函數(shù)，正是曲線與直線.三、微分中值定理的應(yīng)用：（1） 根的存在定理若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，.（2） 若函數(shù)的原函數(shù)在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，則在內(nèi)至少有一個(gè)零值點(diǎn).（3） 若函數(shù)的原函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)也存在，由費(fèi)馬定理知即.（4） 若函數(shù)的原函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)也存在，由費(fèi)馬定理知即.（5） 在證明方程根的存在性的過(guò)程中，經(jīng)常用到拉格朗日定理，積分中值定理，有時(shí)也用到柯西中值定理來(lái)證明滿(mǎn)足方程的存在性所需的條件，然后利用上的方法來(lái)證明方程根的存在性.例 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)方程。充分理解微分學(xué)的相關(guān)知識(shí)，掌握微分中值定理的內(nèi)容，并會(huì)熟練的應(yīng)用。通過(guò)查閱大量資料文獻(xiàn)和網(wǎng)上查閱，我找到了很多相關(guān)資料。通過(guò)對(duì)這兩個(gè)定理進(jìn)行分析
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