【正文】 求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這 樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯；（ 2） 有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進(jìn)行求導(dǎo)．有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量。uy . 39。 例 6．（ 1） （ 06 湖北卷）半徑為 r 的圓的面積 S(r)＝ ? r2,周長 C(r)=2? r，若將 r 看作 (0，＋∞ )上的變量，則 (? r2)`＝ 2? r ○1 ， ○1 式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)?！保? （ 2） 曲線xy 1?和 2xy? 在它們的交點(diǎn) 坐標(biāo)是 (1， 1)， 兩條切線 方程分別是 y=－ x+2和 y=2x－ 1，它們 與 x 軸所圍成的三角形的面積是43。 解析：（ 1） 依題意，當(dāng) x?1 時， f?（ x） ?0，函數(shù) f（ x）在（ 1，＋ ?）上是增函數(shù)；當(dāng) x?1 時， f?（ x） ?0， f（ x）在（－ ?， 1）上是減函數(shù)，故 f（ x）當(dāng) x＝ 1 時取得最小值，即有 f（ 0） ?f（ 1）， f（ 2） ?f（ 1），故選 C； （ 2） 函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)殚_區(qū)間 ),( ba ，導(dǎo)函數(shù) )(xf? 在 ),( ba 內(nèi)的圖 象如圖所示，函數(shù) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有極小值 的 點(diǎn) 即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有 1 個，選 A。(x)= 2x2(1－ x)2 e－ 2x, f 39。(x)和 f(x)的變化情況如下表 : x (－∞ , － a－ 2a ) (－a－ 2a ,a－ 2a ) (a－ 2a ,1) (1,+∞ ) f 39。導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對應(yīng)原函數(shù)增減。 ( ) 6 ( 1)f x x x a? ? ?，令 39。 ( ) 6 1f x x x a? ? ?????， 39。 點(diǎn)評： 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 （ Ⅱ ） 設(shè) ),( nmp ， ),( yxQ ， ? ? ? ? 4414,1,1 22 ????????????? nnmnmnmPBPA ， 21??PQk，所以21????mx ny。 證明 : （ I）．先用數(shù)學(xué)歸納法 證明 01na??，ｎ＝ 1,2,3,? (i).當(dāng) n=1 時 ,由已知顯然結(jié)論成立 。 又 f(x)在 [0,1]上連續(xù) ， 從而 1( 0 ) ( ) ( 1 ) , 0 1 sin 1 1kkf f a f a ?? ? ? ? ? ? n=k+1時 ,結(jié)論成立 。 2 2( ) c o s 1 2 s in 2 ( ) 0 .2 2 2 2 2x x x x xg x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 g (x)在 (0,1)上是增函數(shù) 。 題型 6：導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用題 例 11．（ 06 江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷。 于是底面正六邊形的面積為（單位： m2） ： 2 2 2 2 23 3 33 ( 1 ) 6 ( 8 2 ) ( 8 2 )42x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 答 ： 當(dāng) OO1為 2m 時，帳篷的體積最大。 證明：（ I）因?yàn)?39。 媒質(zhì) 阻力 42222 9)3( tkbbtkkvF zu ??? ，其中 k 為比例常數(shù)， k0。(b)＜ 0．故在 b=3 時， S(b)取得極大值，也是最大值，即 a=－ 1， b=3 時 ， S 取得最大值，且29max ?S。 。 五．思維總結(jié) 1．本講內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主 主要考查： （ 1）函數(shù)的極限； （ 2）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)及在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用； （ 3）計算曲邊圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。(b)=0；在 b＞ 0 時得唯一駐點(diǎn) b=3，且當(dāng) 0＜ b＜ 3 時， S39。 題型 7：定積分 例 13． 計算下列定積分的值 （ 1） ?? ?31 2 )4( dxxx；（ 2） ? ?21 5)1( dxx；（ 3） dxxx? ?20 )sin(? ；（ 4） dxx??222cos?? ； 解析：（ 1） （ 2）因?yàn)?56 )1(])1(61[ ???? xx，所以61|)1(61)1( 21621 5 ????? xdxx； （ 3） 第 24 頁 共 25 頁 （ 4） 例 14． （ 1） 一物體按規(guī)律 x＝ bt3 作直線運(yùn)動，式中 x 為時間 t 內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方．試求物體由 x＝ 0 運(yùn)動到 x＝ a 時，阻力所作的功 。 例 12．（ 06 浙江卷）已知函數(shù) f(x)=x3 + x3 ，數(shù)列｜ xn ｜(xn ＞ 0)的第一項(xiàng) xn ＝ 1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在 ))(,( 11 ?? nn xfx 處的切線與經(jīng)過（ 0， 0）和（ x n ,f (xn )）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）求證：當(dāng) n *N? 時， (Ⅰ )x 。 當(dāng) 1x2 時， ( ) 0Vx? ? ,V(x)為增函數(shù)；當(dāng) 2x4 時， ( ) 0Vx? ? ,V(x)為減函數(shù)。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O 到底面中心 1o 的距離為多少時，帳篷的體積最大？ 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 于是 31( ) 0 , si n 06n n n ng a a a a? ? ? ?即．故 31 16nnaa? ?。 又因?yàn)?01na??時， 1 si n si n 0n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?，所以 1nnaa? ? ，綜上所述 101nnaa?? ? ? 。 因?yàn)?0x1 時 ， 39。 點(diǎn)評：該題是導(dǎo)數(shù)與平 面向量結(jié)合的綜合題。 所以 , 函 數(shù) 在 1??x 處 取 得 極 小 值 , 在 1?x 取 得 極 大 值 , 故1,1 21 ??? xx , 4)1(,0)1( ??? ff 。()fx + 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 從上表可知，函數(shù) ()fx在 ( ,0)?? 上單調(diào)遞增；在 (0, 1)a? 上單調(diào)遞減；在第 20 頁 共 25 頁 ( 1, )a? ?? 上單調(diào)遞增。 （Ⅰ）當(dāng) 1a? 時， 39。 解析：（ 1） 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x? ? ? ? ?，令 ( ) 0fx? ? 可得 x＝ 0 或 2（ 2 舍去），當(dāng)－ 1?x?0 時， ()fx? ?0，當(dāng) 0?x?1 時， ()fx? ?0，所以當(dāng) x＝ 0 時， f（ x）取得最大值為 2。 (Ⅱ )(ⅰ )當(dāng) 0a≤ 2 時 , 由 (Ⅰ )知 : 對任意 x∈ (0,1)恒有 f(x)f(0)=1； (ⅱ )當(dāng) a2 時 , 取 x0= 12 a－ 2a ∈ (0,1),則由 (Ⅰ )知 f(x0)f(0)=1； (ⅲ )當(dāng) a≤ 0 時 , 對任意 x∈ (0,1),恒有 1+x1－ x 1 且 e－ ax≥ 1， 得： f(x)= 1+x1－ xe－ ax≥ 1+x1－ x 1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng) a∈ (－∞ ,2]時 ,對任意 x∈ (0,1)恒有f(x)1。(x)0, f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ )為增函數(shù) .； (ⅲ )當(dāng) a2 時 , 0a－ 2a 1, 令 f 39。(x)= ax2+2－ a(1－ x)2 e－ ax。 題型 4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值 例 7．（ 1） （ 06 江西卷）對于 R 上可導(dǎo)的任意函數(shù) f（ x），若滿足（ x－ 1） fx?（） ?0，則必有（ ） 第 18 頁 共 25 頁 A． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） B. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） C． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） D. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） （ 2） （ 06 天津卷）函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)殚_區(qū)間 ),( ba ，導(dǎo)函數(shù) )(xf? 在 ),( ba 內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ） A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 （ 3） （ 06 全國卷 I）已知函數(shù) ? ? 11 axxf x ex ??? ?。 （ 2） （ 06 湖南卷） 曲線 1yx?和 2yx? 在它們交點(diǎn)處的兩條切線與 x 軸所圍成的三角形面積是 。 題型 3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例 5．（ 1） （ 06 安徽卷） 若曲線 4yx? 的一條切線 l 與直線 4 8 0xy? ? ? 垂直，則 l 的方程為 （ ） 第 17 頁 共 25 頁 A． 4 3 0xy? ? ? B． 4 5 0xy? ? ? C． 4 3 0xy? ? ? D． 4 3 0xy? ? ? （ 2） （ 06全國 II）過點(diǎn)（－ 1， 0）作拋物線 2 1y x x? ? ? 的切線，則其中一條切線為 （ ） （ A） 2 2 0xy? ? ? （ B） 3 3 0xy? ? ? （ C） 10xy? ? ? （ D） 10xy? ? ? 解 析 ： （ 1） 與直線 4 8 0xy? ? ? 垂直的直線 l 為 40x y m? ? ? ，即 4yx? 在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 4，而 34yx?? ，所以 4yx? 在 (1， 1)處導(dǎo)數(shù)為 4，此點(diǎn)的切線為 4 3 0xy? ? ? ，故選 A； （ 2） 21yx???，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 00( , )xy ，則切線的斜率為 2 0 1x? ，且20 0 0 1y x x? ? ? ，于是切線方程為 20 0 0 01 ( 2 1 ) ( )y x x x x x? ? ? ? ? ?，因?yàn)辄c(diǎn)（ － 1， 0）在切線上，可解得 0x ＝ 0 或－ 4，代入可驗(yàn)正 D 正確，選 D。 點(diǎn)評：通過對 y=（ 3x22) 展開求導(dǎo)及按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到 39。(s in*s in)39。39。 題型 2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 例 3．（ 1） 求 )11(32 xxxxy ???的導(dǎo)數(shù)； （ 2）求 )11)(1( ???xxy的導(dǎo)數(shù)； （ 3）求2cos2sin xxxy ??的導(dǎo)數(shù)； （ 4） 求 y= xxsin2 的導(dǎo)數(shù)； （ 5） 求 y＝x xxxx 9532 ??? 的導(dǎo)數(shù)。 （ 2）從（ 1）可見某段時間內(nèi)的平均速度ts??隨 t? 變化而變化， t? 越小，ts??越接第 15 頁 共 25 頁 近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是 0??t 時，ts??的極限， V=0lim??x ts?? =0lim??x ?? ??? t sts )3()3( 0lim??x tgtg???? 22 32