無窮級數(shù)求和的方法(文件)
【正文】 ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 于是得到全部取得勝利的概率為 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 因此，（ 5）式的和為 16 ( 1 ) ( 1 )1 ( ) ( 1 ) ( 2 1 )b b b aa b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ? 特別地當(dāng) a=1,b=3 時，易得（ 3）式；當(dāng) a=1,b=r1時，易得（ 4）式。 參 考文獻(xiàn) ： [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系。 q 求和方法的探討 [J]．唐山學(xué)學(xué)報(bào) 。 1978． [6]陳傳璋．?dāng)?shù)學(xué)分析 [M]．北京：人民教育出版社。此外，還有利用微分方程傅立葉級數(shù)，以及利用在復(fù)數(shù)域內(nèi)比較實(shí)部、虛部的方法去求級數(shù)的和，在這里就不一一列舉了。因此，在所有各次實(shí)驗(yàn)中全部失敗的概率為： 2 2 21 1 1lim (1 ) (1 ) (1 )23n n?? ? ? ? 2 2 22 2 22 1 3 1 1l i m ( ) ( ) ( )23n n n?? ? ? ?? 13 2 2 21 3 2 4 [ ( 3 ) ( 1 ) ] [ ( 2 ) ] [ ( 1 ) ( 1 ) ]l im 23n n n n n n nn?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11lim 22n n n?? ??? 就是說，所有各次實(shí)驗(yàn)全部失敗的概率是 12，勝利的概率是 11122?? 下面直接研究勝利的概率： 第一次勝利，其概率為212；第一次失敗，第二次勝利，其概率為2211(1 )23?? 第一次、 第二次失敗，第三次勝利，其概率為2 2 21 1 1(1 ) (1 )2 3 4? ? ? ? 第一次、 第二次、 、第 1n? 次失敗，第 n 次勝利，其概率為2 2 2 21 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? 這樣，全部實(shí)驗(yàn)取得勝利的概率是： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 4 2 3 ( 1 )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 但已知取得勝利的概率為 12 ，從而求得： 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 ( 1 ) 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 1） （ 2） 改變上述概率問題 容器里裝有 3個球， 1 個紅球， 2個黑球，實(shí)驗(yàn)方法和取得的條件不變，那么，在各次實(shí)驗(yàn)中，取得勝利的概率依次是： 2 2 21 1 1, , , ,3 4 ( 2 )n ? 各次實(shí)驗(yàn)失敗的概率依次是：2 2 21 1 11 , 1 , , 1 ,3 4 ( 2)n? ? ? ?，這樣，在所有各次實(shí)驗(yàn)中都失敗的概率 2 2 21 1 1l i m (1 ) (1 ) [1 ]3 4 ( 2)n n?? ? ? ? ? 2 2 2 22 2 2 23 1 4 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1l i m ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2 )n nnnn?? ? ? ? ? ? ?? ?? 14 2 2 2 22 4 3 5 ( 2) ( 1 ) ( 3 )l im ( ) ( ) [ ] [ ]3 4 ( 1 ) ( 2)n n n n nnn?? ? ? ? ? ?? ?? 2( 3) 2lim 3( 2) 3nnn?????? 勝利的概率就是： 21133??。 （十）轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和 例 1求級數(shù) nn n20 )2/1()]12/(1[??? ?的和函數(shù) 解：因?yàn)榧墧?shù) ?????012)]12/(1[nnxn 的收斂域?yàn)椋?1， 1） 則令 S(x)=?????012)2/1) ] (12/(1[nnn 12 所以)1/(1......1}2)]12/(1{[)(224202,10xxxxxxnxSnnnnn?????????????????? 所以 ?? ????? xx xxdxxdxxS020)1/()1l n (2/1)1/(1)( 所以 S(x)= )1/()1ln (2/1)]12/(1[012 xxxnnn ???????? (1x1) 因?yàn)?x=1/2 在收斂域內(nèi) 所以3ln2/1)]2/1(1/)2/1(1l n [)2/1()2/1) ] (12/(1[)2/1()2/1) ] (12/(1[)(02012???????? ?? ?????nnnn nnxS 所以 3ln)2/1) ] (12/(1[02 ?????nnn （十一） 利用概率求一類無窮級數(shù)的和 （ 1） 由一個概率問題的兩種解法所引起的思考 （ 2） 從 1 個裝有 1 個紅球和 1 個黑球的窗口里取兩次球，每次取 1個，取后放回，如果兩次連續(xù)取出紅球，就算勝利。因此，對于級數(shù)1 nn a???，若通項(xiàng) 0na? （當(dāng) n?? 時），則部分和的子序列 2{}nS 收斂于 S 。( ) 1 ( )S x xS x?? ，且 (0) 1S ? 。 10 （七） 利用歐拉常數(shù)法 例 1求11(2 1)nS nn??? ?? 解：111 1 2()( 2 1 ) 2 1nnnkkS k k k k??? ? ????? 11 1 1 12 ( )3 5 2 1nk kn?? ? ? ? ? ?? 11 1 1 1 2 1 1 12 ( 1 ) 2 ( 1 )2 3 2 2 1 2 4 2nk k n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
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