公共基礎(chǔ)——數(shù)學之無窮級數(shù)學習筆記(文件)
【正文】 l 級數(shù)理論的基本問題：級數(shù)的收斂問題l 級數(shù)的作用：研究函數(shù)l 級數(shù)的應用：近似計算2．常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)l 概念：un是一個數(shù)列，n=1∞un 是無窮級數(shù)Sn=i=1nui稱為級數(shù)un 的部分和 若limn→∞Sn=S存在，稱級數(shù)n=1∞un 收斂，當級數(shù)收斂時，對于余項rn=i=n+1∞ui 有 limn→∞r(nóng)n=0若limn→∞Sn=S不存在，稱級數(shù)n=1∞un 發(fā)散l 性質(zhì)和的級數(shù) = 級數(shù)的和每一項的常數(shù)倍之和 = 級數(shù)的常數(shù)倍3．典型級數(shù)n=1∞aqn1當q1時，級數(shù)收斂于a1q，反之發(fā)散n=1∞1np當P1時 收斂，當0P≤1時 發(fā)散4. 正項級數(shù)審斂法（4條）當級數(shù)的各項均 0時，稱為 正項級數(shù)。l 比較審斂法：n=1∞un 、 n=1∞vn對于N0，當時，0≤un≤Cvn(C為常數(shù))，若后者收斂則前者收斂，若前者發(fā)散則后者發(fā)散。5. 任意項級數(shù)審斂法（3條）如果級數(shù) un 為任意實數(shù)，則其各項之和稱為 任意項級數(shù)。l 如果級數(shù)n=1∞un 為任意項級數(shù)，且級數(shù)limn→∞un+1un=l（或limn→∞nun=l）則當l1時 收斂，當l1或l=+∞時 發(fā)散，當l=1時 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。l 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式：ex=n=0+∞xnn! (∞x+∞)sinx=n=0+∞(1)nx2n+1(2n+1)! (∞x+∞)cosx=n=0+∞(1)nx2n2n! (∞x+∞)ln(1+x)=n=0+∞(1)nxn+1n+1
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