公共基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)之無窮級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)筆記(編輯修改稿)
2025-07-04 15:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 標(biāo)準(zhǔn)形式的冪級(jí)數(shù)完全由它的系數(shù)an來決定。這也是為什么 后面對(duì)冪級(jí)數(shù)的 處理都是針對(duì)an 來的，而不是前面的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的un若上級(jí)數(shù)在t=t0 處收斂，則對(duì)tt0 的所有t，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂若 發(fā)散， 發(fā)散ρ→ R 對(duì)冪級(jí)數(shù)n=0∞anxn若limn→∞an+1an=ρ(或limn→∞nan=ρ)則它的收斂半徑R與 ρ 有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系R=1ρ 當(dāng)ρ≠0時(shí) 0 當(dāng)ρ+∞時(shí)+∞ 當(dāng)ρ=0時(shí)實(shí)際上這三者是一樣的 ，都是R=1ρ4. 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法l 只考慮 間接法：利用一些已知的函數(shù)展開式、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算（如四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分）以及變量代換等，將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，避免在 用直接法 時(shí)研究余項(xiàng)的麻煩。l 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式：ex=n=0+∞xnn! (∞x+∞)sinx=n=0+∞(1)nx2n+1(2n+1)! (∞x+∞)cosx=n=0+∞(1)nx2n2n! (∞x+∞)ln(1+x)=n=0+∞(1)nxn+1n+1 (1x≤1)11x=1+x+x2+x3+???(1+x)μ=n=0+∞μ?(μ1)???(μn+1)n! x n (1x1)當(dāng)μ=1/2時(shí)11+x=112x+1*32*4x21*3*52*4*6x3+???當(dāng)μ=1時(shí)11+x=1x+x2x3+???冪級(jí)數(shù)n=0∞1n!fn(x0)(xx0)n稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒級(jí)數(shù)。從定義上可以看出，泰勒級(jí)數(shù) 是冪級(jí)數(shù)的一種。
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