公共基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)之無(wú)窮級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)筆記(已修改)
2025-06-19 15:46 本頁(yè)面
【正文】 無(wú)窮級(jí)數(shù) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1．級(jí)數(shù)的存在意義和概念級(jí)數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)和。無(wú)窮級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮多項(xiàng)的和。級(jí)數(shù)理論 是分析學(xué)的一個(gè)分支，它與另一個(gè)分支——微積分學(xué)一起作為基礎(chǔ)知識(shí)和工具出現(xiàn)在其余各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離散和連續(xù)兩個(gè)方面，結(jié)合起來(lái)研究分析學(xué)的對(duì)象，即變量之間的依賴(lài)關(guān)系——函數(shù)。l 級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題：級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題l 級(jí)數(shù)的作用：研究函數(shù)l 級(jí)數(shù)的應(yīng)用：近似計(jì)算2．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)l 概念：un是一個(gè)數(shù)列，n=1∞un 是無(wú)窮級(jí)數(shù)Sn=i=1nui稱(chēng)為級(jí)數(shù)un 的部分和 若limn→∞Sn=S存在，稱(chēng)級(jí)數(shù)n=1∞un 收斂，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，對(duì)于余項(xiàng)rn=i=n+1∞ui 有 limn→∞r(nóng)n=0若limn→∞Sn=S不存在，稱(chēng)級(jí)數(shù)n=1∞un 發(fā)散l 性質(zhì)和的級(jí)數(shù) = 級(jí)數(shù)的和每一項(xiàng)的常數(shù)倍之和 = 級(jí)數(shù)的常數(shù)倍3．典型級(jí)數(shù)n=1∞aqn1當(dāng)q1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于a1q，反之發(fā)散n=1∞1np當(dāng)P1時(shí) 收斂，當(dāng)0P≤1時(shí) 發(fā)散4. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法（4條）當(dāng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)均 0時(shí)，稱(chēng)為 正項(xiàng)級(jí)數(shù)。什么是審斂法？就是通過(guò)級(jí)數(shù)的各種極限形式來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的方法。l 收斂準(zhǔn)則：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和有界。部分和有界 是部分和數(shù)列 有界的必要條件。l 比較審斂法：n=1∞un 、 n=1∞vn對(duì)于N0，當(dāng)時(shí)，0≤un≤Cvn(C為常數(shù))，若后者收斂則前者收斂，若前者發(fā)散則后者發(fā)散。比較審斂法的極限形式是limn→∞unvn=l當(dāng)0l∞時(shí)，兩級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。l 比值審斂法（后項(xiàng)比前項(xiàng)）若l
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