【正文】 ? ( L ) xt = ? ( 1 ) ? + ? ( L ) ut = ? + ? ( L ) ut ，與 原過程 相同。 （ 1 ）因為 自相關函數(shù) 值是零對稱的，所以通常只觀察 自相關函數(shù) 的右半部分， ? 0 , ? 1 , ? 2 , ... 。 用生成的序列演示。 偏自相關函數(shù)由下式中的紅項組成。 ARMA模型的識別 12. 6 時間序列模型的建立與預測 A R IM A 過程 一般 表達式 ： ? ( L ) Ddy t = ? + ? ( L ) u t 其中 ? ( L ) 和 ? ( L ) 分別是 p 階 自回 歸和 q 階 移動平均算子。 它既包括了 AR ， MA 和 A R MA 過程，也包括了 AR I ， I MA和 AR I MA 過程。 在學習了第 1 3 章 的知識 后也可以用 DF 、 A D F 檢驗判別隨機過程的平穩(wěn)性。差分后若數(shù)據(jù)的 極差變大，說明差分 次數(shù)太多 了。 建立時間序列 A R IM A 模型的步驟 1 ． 識別 用相關圖和偏相關圖識別模型形式（確定參數(shù) d, p , q ）。 1 . 0 0 . 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 AR （ 1 ） xt = ?1xt 1 + ut 若 ?1 0 ， 平滑地指數(shù)衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 12. 6 時間序列模型的建立與預測 表 1 AR MA 過程的自相關函數(shù)和 偏自相關函數(shù) MA （ 1 ） xt = ut + ?1ut 1 若 ?1 0 ， k =1 時有 正峰值然后截尾。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 時間序列模型 的建立與預測 12. 6 時間序列模型的建立與預測 表 1 AR MA 過程的自相關函數(shù)和 偏自相關函數(shù) AR （ 2 ） xt = ?1xt 1 + ?2xt 2 + ut 指數(shù)或正弦衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 時間序列模型 的建立與預測 12. 6 時間序列模型的建立與預測 表 1 AR MA 過程的自相關函數(shù)和 偏自相關函數(shù) AR M A （ 1 ， 1 ） xt = ?1xt 1 + ut + ?1ut 1 k =1 有峰值 然后按指數(shù)衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 時間序列模型 的建立與預測 ARIMA模型識別舉例 12. 6 時間序列模型的建立與預測 2. 模型參數(shù)的估計 （ 不講 ） 3. 診斷與檢驗 一是檢驗模型參數(shù)的估計值是否具有統(tǒng)計顯著性；二是檢驗殘差序列的 非自相關性 。 用殘差序列計算 Q 統(tǒng)計量 。 設對時間序列樣本 { xt}, t = 1, 2, …, T ，所擬合的模型是 xt = ?1 xt 1 + ut + ?1 ut 1 則理論上 T + 1 期 xt的值應按下式計算， xT + 1 = ?1 xT + uT +1 + ?1 uT （ 取 uT + 1 = 0 ） 。 （第 3版 309頁） 12. 6 時間序列模型的建立與預測 4 . 時間序列模型預測 若上面所用的 xt 是 yt的 差分變量， D yt = xt，則 yt = yt 1 + D yt 原序列 T +1 期預測值應按下式計 算 111 ??? ???? ???? TTTTT xyDyyy 對于 t T +1 ，預測式是 , . . .3,2,?? 1 ??????? TTtDyyy ttt 其中1? ?ty是相應上一步的預測結果。若以 1 97 0 年為界，把 51 年分為兩個時期，即 執(zhí)行計劃生育政策 以前時期（ 1949 ? 197 0 ）和 執(zhí)行計劃生育政策 以后時期（ 1 97 1 ? 20 0 6 ），則前一個時期的人口年平均增長率為 20 .5 ‰ ，后一個時期的年平均增長率為 14 .1 2 ‰ 。估計結果見 下 表 ： 表 1 中國人口差分序列的 5 個 AR I MA 模型估計結果 D(y ) AR M A(1 , 1 ) AR (1 ) AR (2 ) M A( 1 ) M A( 2 ) ? 0 . 1 4 2 6 ( 1 0 . 1 ) 0 . 1 4 2 9 ( 8 . 7 ) 0 . 1 4 3 4 ( 1 0 . 4 ) 0 . 1 4 1 9 ( 1 4 . 1 ) 0 . 1 4 2 1 ( 1 1 . 6 ) AR (1 ) 0 . 4 0 0 7 ( 2 . 0 ) 0 . 6 1 7 1 ( 5 . 4 ) 0 . 7 3 4 8 ( 5 . 1 ) ? ? ? ? AR (2 ) ? ? ? ? 0 . 1 9 6 1 ( 1 . 4 ) ? ? ? ? M A( 1 ) 0 . 3 6 8 1 ( 1 . 8 ) ? ? ? ? 0 . 6 1 5 1 ( 5 . 5 ) 0 . 7 7 2 8 ( 5 . 6 ) M A( 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 . 2 3 9 8 ( 1 . 7 ) R2 0 . 4 0 9 9 0 . 3 7 9 3 0 . 3 9 9 1 0 . 3 7 0 . 4 1 Q (1 5 ) 5 . 7 (0 . 9 6 ) 6 . 6 (0 . 9 5 ) 6 . 7 (0 . 9 2 ) 1 3 . 9 ( 0 . 4 6 ) 6 . 9 9 ( 0 . 9 0 ) 1 9 5 0 2 0 0 0 51 51 51 51 51 表 1 中第 2 個估計結果是最好的 。 EViews 7 注意表達式寫法 1 2 . 7 案例分析（ 中國人口時間序列模型 ） 表達式是 D yt = 0 .1429 + 171 ( D yt 1 0 .1429) + ut ( ) ( ) R2 = 0. 38 , Q ( 10) = 5 . 2 , Q? ( k p q ) = Q0. 05 (1 0 2 ) = 1 5. 5 （ 1 ） t 檢驗通過。 所以模型的隨機誤差序列 滿足 非自相關的要求 。 （ 2 ） 71 含義是 前一 期 值 以 1 倍 的 強度 影響 當 期 值 。 對上式兩側求期望， E( D yt) =61 05 ?= 0. 142 9 。 ? 是 D yt的漂移項，? / (1 ?1) 是 Dyt的均值。預測 相對 誤差為 ? =7 6 2 7 6 2 8 8 ?= 0. 00 2 2023 ? 20 06 年的平均預測相對誤差也是 0. 2% 。輸入 1 階自回歸時間序列模型估計命令如下： D ( Y ) C A R ( 1) 其中 C 表示 均值 。 （ 4 ）點擊結果窗口中的 F or cas t 鍵， 在隨后彈出的對話框中做出適當選擇，就可以得到 yt和 D yt的動態(tài) 、 靜態(tài) ，結構、非結構 預測值。 （ 1 ）第一個特征是在 19 6 1 年和 20 03 年 發(fā)生兩次大的產量回落 。 （ 2 ）第二個特征是 存在周期性變化 。工業(yè)化是強國的標志，農業(yè)是國民經濟的基 礎。 盡管自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都在正負兩個標準差之內，但是 Q ( 10) 對應的 p 值只有 0. 01 。 E V i e w s 5 輸出結果見圖 。估計結果見表 1 。其差分序列的相關圖見圖 。以產量發(fā)生回落計， 中國糧食產量序列 含有 個周期。 2023 年與之前產量最高的 1 998 年相比，減產了 81 60. 5 萬噸。 1 2 . 6 81 2 . 7 21 2 . 7 61 2 . 8 01 2 . 8 41 2 . 8 81 2 . 9 22 0 0 1YF ? 2 S . E .F o r e c a s t : Y FA c t u a l : YF o r e c a s t s a m p l e : 2 0 0 1 2 0 0 1In c l u d e d o b s e r v a t i o n s : 1Ro o t M e a n S q u a re d E r ro r 0 . 0 2 5 3 5 8M e a n A b s o lu t e E r ro r 0 . 0 2 5 3 5 8M e a n A b s . P e r c e n t E r ro r 0 . 1 9 8 6 8 5 EViews 7 案例 2 中國糧食產量序列（ yt）的 MA 模型 通過這個例子分析怎樣建立 MA 模型。 （ 2 ）模型中若含有移動平均項， E V i e w s 命令用 MA ( q ) 表示。 （ 1 ）在打開工作文件的基礎上，從 E V i e w s 主菜單中點擊 Q ui ck 鍵，選擇 E st i m at e Eq u at i on 功能。 案例 1（中國人口時間序列分析） 案例 分析（中國人口時間序列模型） 預測 ： 由樣本知 D y2023 = 547 + 71 D y2023 + ut = 7 + 0. 6171 ? = 1 38 y2023 = y2023 + D y2023 = 7 43 + 138 = 881 E V i e w s 給出的預測值是 1 6 ，計算 結果相同。 以 輸出結果 Dyt = 0. 0547 + Dyt 1 + ut為例，一般化為 Dyt = ? + ?1Dyt 1 + ut (1 ?1L ) Dyt = ? + ut 上式 同除差分算子， 可寫為 ， （ 因為 S = ( 1 – L ) 1 = D 1， 表示 無限 累加 ） (1 ?1L ) yt = D 1? + D 1ut = S ? + S ut = ? t +??tiiu1 (1 ?1L ) yt 1 = ? ( t 1) +???10tiiu 上 兩 式 相減， (1 ?1L ) Dyt = ? + ut。 （ 2 ） 時間序列模型的可決系數(shù) R2一般 不可能很高。 其 含義是 51 年間平均 年增加人口數(shù) 是 1 42 8. 6 2 萬 人 。（ 3 ）特征根倒數(shù)在單位圓之內。 （ 2 ） Q 檢驗通過。 56789101112131450 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05Y . 1.0.1.2.350 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05D ( Y ) 0 . 1 3 6 1 6 4 案例 1（中國人口時間序列分析） yt的相關圖，偏相關圖 （ 1 9 4