【正文】 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 若 ?1 0 ， 交替式指數(shù)衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 12. 6 時間序列模型的建立與預(yù)測 表 1 AR MA 過程的自相關(guān)函數(shù)和 偏自相關(guān)函數(shù) MA （ 1 ） xt = ut + ?1ut 1 若 ?1 0 ， k =1 時有 正峰值然后截尾。 1 . 0 0 . 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 若 ?1 1 0 ， k =1 時有正峰值然后截尾。 1 . 0 0 . 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 AR （ 1 ） xt = ?1xt 1 + ut 若 ?1 0 ， 平滑地指數(shù)衰減。 3 ． 診斷與檢驗(yàn) 包括被估參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和殘差的隨機(jī)性檢驗(yàn)。 建立時間序列 A R IM A 模型的步驟 1 ． 識別 用相關(guān)圖和偏相關(guān)圖識別模型形式（確定參數(shù) d, p , q ）。 4 ． 序列的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖可以為識別模型參數(shù) p （自回歸分量的階數(shù)）和 q （移動平均分量的階數(shù)）的值提供信息。差分后若數(shù)據(jù)的 極差變大，說明差分 次數(shù)太多 了。 12. 6 時間序列模型的建立與預(yù)測 1 ． 對于經(jīng)濟(jì)時間序列，差分次數(shù) d通常取 0 ， 1 或 2 。 在學(xué)習(xí)了第 1 3 章 的知識 后也可以用 DF 、 A D F 檢驗(yàn)判別隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。（ 1 ）模型的識別，（ 2 ）模型參數(shù)的估計(jì)，（ 3 ）模型的診斷與檢驗(yàn)。 它既包括了 AR ， MA 和 A R MA 過程，也包括了 AR I ， I MA和 AR I MA 過程。 ? 是位移項(xiàng) （亦稱漂移項(xiàng)） 。 ARMA模型的識別 12. 6 時間序列模型的建立與預(yù)測 A R IM A 過程 一般 表達(dá)式 ： ? ( L ) Ddy t = ? + ? ( L ) u t 其中 ? ( L ) 和 ? ( L ) 分別是 p 階 自回 歸和 q 階 移動平均算子。 （ 1 ）自回歸（ AR ）過程的 偏 自相關(guān)函數(shù) 呈 截尾特征。 偏自相關(guān)函數(shù)由下式中的紅項(xiàng)組成。 AR(1) AR(2) AR (2) MA (1) 實(shí)根 MA (2)實(shí)根 MA (2) 復(fù)根 12. 5 偏自相關(guān)函數(shù) （ 不講 理論，只分析特征 ） 偏 自相關(guān)函數(shù) 是識別 A R I MA 模型結(jié)構(gòu)的重要手段。 用生成的序列演示。 （ 3 ）自回歸 （ AR ） 過程的 自相關(guān)函數(shù) 呈 拖尾特征 。 （ 1 ）因?yàn)?自相關(guān)函數(shù) 值是零對稱的，所以通常只觀察 自相關(guān)函數(shù) 的右半部分， ? 0 , ? 1 , ? 2 , ... 。 AR(1) 實(shí)根 AR(2) 實(shí)根 AR(2) 復(fù)根 12. 4 自相關(guān)函數(shù) （ 不講 理論，只分析特征 ） 自相關(guān)函數(shù) 是識別 A R I M A 模型結(jié)構(gòu)的重要手段。則過程 xt的期望是 E( xt) = ? / ? ( 1 ) = ? / ( 1 ?1 ?2 … ?p) = ? 期望 ? 和漂移項(xiàng) ? 的關(guān)系 是： ? ( 1 ) ? = ? 過程 ， ? ( L ) xt = ? + ? ( L ) ut 可 以 寫為， ? ( L ) ( xt ? ) = ? ( L ) ut 因?yàn)榇蜷_ ( xt ? ) ，上式 寫為 ? ( L ) xt = ? ( 1 ) ? + ? ( L ) ut = ? + ? ( L ) ut ，與 原過程 相同。 單積自回歸移動平均模型 1 2 . 3 W o l d 分解定理 下面用一般表達(dá)式描述這個 關(guān)系 。 伯克斯 — 詹金斯 （ B ox Je n k i ns ） 積數(shù)十年理論與實(shí)踐的研究指出，時間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的，然而幸運(yùn)的是經(jīng)濟(jì)時間序列常常具有這種特殊的齊次非平穩(wěn)特性。 該過程也是非平穩(wěn)的， 但該過程的特點(diǎn)是經(jīng)過相應(yīng)次差分之后可以轉(zhuǎn)化為一個平穩(wěn)過程。其中 ? ( L ) Dd 稱為 廣義自回歸算子 。 這種取名的目的是與后面的稱謂相一致。 日本人口差分序列 1 2 . 2 時間序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 若 一個隨機(jī)過程 yt含有 d 個單位根，則其經(jīng)過 d 次差分之后 可以變換成為一個平穩(wěn)的自回歸移動平均過程。 1 2 . 2 時間序列模型的分類 3. 自回歸移動平均過程 A R M A ( 1, 1) 過程 ： xt ?1 x t 1 = ut + ?1 ut 1 或 ( 1 ?1 L ) xt = ( 1 + ? 1 L ) ut 只有當(dāng) 1 ?1 1 和 1 ? 1 1 時，上述模型才是平穩(wěn)的，可逆的。 A R M A ( p , q ) 過程的 平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分 ，即 ? ( L ) = 0的 全部根取值在單位圓之外（絕對值大于 1 ）。 30 1 2 . 2 時間序列模型的分類 3. 自回歸移動平均過程 由自回歸和移動平均兩部分共同構(gòu)造的隨機(jī)過程稱為自回歸移動平均過程，記為 A R M A ( p , q ) ，其中 p , q 分別表示自回歸和移動平均分量的 最大滯后 階數(shù)。 ? AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問題，不必考慮可逆性問題。 12. 2 時間序列模型的分類 2. 移動平均過程 對于 M A ( 1) 過程 E( xt) = E ( ut) + E( ? 1 ut 1) = 0 V ar( xt) = V ar( ut) + V ar( ? 1 ut 1 ) = ( 1 + ? 12 ) ?u2 4202450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0M A ( 1 ) 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 001 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 050 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05D ( Y ) MA ( 1) 時間序列 中國糧食產(chǎn)量 差分 序列 1 2 .2 時間序列模型的分類 2. 移動平均過程 不同 參數(shù)的 移動平均 過程 。 i?由 AR(p)模型平穩(wěn)性可知， MA(P)模型具有可逆性的條件是 1。 q??? , 21 ?2u? 由定義可知，任何一個 q階移動平均過程都是由 q+1個白噪聲過程的加權(quán)和組成，由于白噪聲過程是平穩(wěn)的，所以 任何一個移動平均模型都是平穩(wěn)的 。 2 (MA) （ 1）移動平均模型的定義 若時間序列 xt為它的當(dāng)期和滯后若干期隨機(jī)擾動項(xiàng)的線性組合，即： 26 1 1 2 2t t t t q t qx u u u u? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 其中， 是參數(shù)， ut是均值為 0，方差為 的白噪聲過程， 稱上式 為 q階移動平均 (Moving Average， MA)模型，記為MA(q)。其特征方程是 ( 1 0. 6 L + 0. 1 L2 ) = 0 [1 ( 0. 1 i ) L ] [ 1 ( 0 . 3 + 0. 1 i ) L ] = 0 特征方程的兩個根是， L1, L2 =ii?31??。 保證 A R ( p ) 過程平穩(wěn)的一個必要但不充分的條件是 p 個自回歸系數(shù)之和要小于 1 ，即 ??pii1? １ AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 1 2 . 2 時間序列模型的分類 例 1 2. 1 有 A R ( 1 ) 過程 xt = xt 1 + ut， 現(xiàn)改寫為 ( 1 L ) xt = ut xt = 1? ut = ( 1 + L + L2 + 0. 2 16 L3 + … ) ut = ut + 0 .6 ut 1 + 6 ut 2 + 0. 2 16 ut 3 + … 平穩(wěn)的 A R ( 1 ) 過程變換成為無限階的移動平均過程。 xt 具有平穩(wěn)性的條 件是 ? ( L ) 1 必須收斂，即應(yīng)有 | Gi | 1, i = 1 , 2, …, p 。 為什么？ A R ( p ) 過程 的 特征多項(xiàng)式 若 滿足 上 條 件 ， 可以分解為 ? ( L ) = 1 ?1 L ?2 L2 … ?p Lp = ( 1 G1 L ) ( 1 G2 L ) ... ( 1 Gp L ) 其中 G1 1, G2 1, ... , Gp 1是特征方程 ? ( L )= 0 的根。這是容易理解的，如果 | ?1 | ? 1 ， 則 ( 1 ?1 L ) 1發(fā)散，于是xt 變成一個非平穩(wěn)隨機(jī)過程。 對于一階自回歸過程 xt = ?1 xt 1 + ut ， 保持其平穩(wěn)的條件是特征方程? ? L ) = ( 1 ?1 L ) = 0 的根的絕對值必須大于 1 ，即滿足 | 1/ ?1 | ? 1 或 | ?1 | 1 。用滯后算子表示 ? 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp) xt = ? ? L ) xt = ut 其中 ? ? L ) = 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp 稱為 自回歸算子 ，或 自回歸 特征多項(xiàng)式 。 1. 自回歸過程 如果一個線性隨機(jī)過程可表達(dá)為 xt = ? 1 xt 1 + ? 2 xt 2 + … + ? p xt p + ut 其中 ?i, i = 1, …, p 是 自 回歸參數(shù)， ut是白噪聲過程，則這個線性過程 xt 稱為 p 階自回歸過程，用 A R ( p ) 表示 。 0ttL x x?i t t iL x x? ???n次一階差分展開式： ，其中 12. 2 時間序列模型的分類 一般分為四種類型。 i j i jt t t i jL L x L x x????滯后算子的零次方等于 1。 ? 滯后算子適用于分配律。 （ 2 ） 對于 滯后算子 Lk， 其 上 標(biāo) 表示 滯后 階 數(shù)。 k 階差分表示為 Dk xt = xt xt k = (1 Lk ) xt =