【正文】 為 xt = ? 1 xt 1 + ? 2 xt 2 + … + ? p xt p + ut 其中 ?i, i = 1, …, p 是 自 回歸參數(shù)， ut是白噪聲過(guò)程，則這個(gè)線(xiàn)性過(guò)程 xt 稱(chēng)為 p 階自回歸過(guò)程，用 A R ( p ) 表示 。它是由 xt 的 p 個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及 ut相加而成。用滯后算子表示 ? 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp) xt = ? ? L ) xt = ut 其中 ? ? L ) = 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp 稱(chēng)為 自回歸算子 ，或 自回歸 特征多項(xiàng)式 。 時(shí)間序列模型 12. 2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) A R ( p ) 過(guò)程中 最常用的是 1 階自回歸過(guò)程 ： xt = ?1 xt 1 + ut 和 2 階自回歸過(guò)程 ： xt = ?1 xt 1 + ?2 xt 2 + ut 64202450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 001 0 02 0 01 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0 6D ( Y ) AR( 1) 序列 中國(guó)旅游人數(shù) 差分 序列 12. 2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問(wèn)題 。 對(duì)于一階自回歸過(guò)程 xt = ?1 xt 1 + ut ， 保持其平穩(wěn)的條件是特征方程? ? L ) = ( 1 ?1 L ) = 0 的根的絕對(duì)值必須大于 1 ，即滿(mǎn)足 | 1/ ?1 | ? 1 或 | ?1 | 1 。 為什么 ？ 在 | ?1 | 1 條件下， 一階自回歸過(guò)程可寫(xiě)為 ( 1 ?1 L ) xt = ut xt = ( 1 ?1 L ) 1 ut = [1 + ?1 L + ( ?1 L )2+ ( ?1 L )3+ … ] ut = (??? 01iiiL?) ut 既然 xt是平穩(wěn) 過(guò)程，? ?? 0 1i ii L?必須收斂，即一階自回歸系數(shù) ?1 必須滿(mǎn)足 | ?1 | 1 。這是容易理解的，如果 | ?1 | ? 1 ， 則 ( 1 ?1 L ) 1發(fā)散，于是xt 變成一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 自回歸模型的平穩(wěn)性 1 2 . 2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 由 A R ( 1) 過(guò)程 xt = ?1 xt 1 + ut , | ?1 | 1 有 xt = ut + ?1 ut 1 + ?12 xt 2 = ut + ?1 ut 1 + ?12 ut 2 + … 因?yàn)?ut 是一個(gè)白噪聲過(guò)程，所以對(duì)于平穩(wěn)的 A R ( 1) 過(guò)程 ， E( xt) = 0 V ar( xt) = E( xt)2 = E ( ut + ?1 ut 1 + ?12 ut 2 + …)2 = ?u2+ ?12?u2+ ?14?u2 + … =2111???u2 1 2 .2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 不同 自 回歸系數(shù)的 A R ( 1 ) 序 列 xt = ?1 xt 1 + ut ,： 25 20 15 1050550 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 1 6420246850 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 . 8 3210123450 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 . 443210123450 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 1 2 . 2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 對(duì)于自回歸過(guò)程 AR( p ) ，如果特征方程 ? ? L ) = 0 的 所有根的絕對(duì)值都大于 1 ，則該過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)的過(guò)程。 為什么？ A R ( p ) 過(guò)程 的 特征多項(xiàng)式 若 滿(mǎn)足 上 條 件 ， 可以分解為 ? ( L ) = 1 ?1 L ?2 L2 … ?p Lp = ( 1 G1 L ) ( 1 G2 L ) ... ( 1 Gp L ) 其中 G1 1, G2 1, ... , Gp 1是特征方程 ? ( L )= 0 的根。 由 A R ( p ) 過(guò)程 ? ? L ) xt = ut， xt可表達(dá)為 xt =tptuLGLGLGuL )1) . . . (1)(1(1)(121?????= (LGkLGk 1 12211? + … +) 1 LGkpput 其中 k1, k 2, …, k p是待定常數(shù)。 xt 具有平穩(wěn)性的條 件是 ? ( L ) 1 必須收斂，即應(yīng)有 | Gi | 1, i = 1 , 2, …, p 。而 Gi 1, i = 1, 2, …, p 是特征方程 ? ( L ) = 0 的根，所以保證A R ( p ) 過(guò)程具有平穩(wěn)性的條件是特征方程的全部根必須在單位圓（半徑為 1 ）之外，即 | 1/ Gi | 1 。 保證 A R ( p ) 過(guò)程平穩(wěn)的一個(gè)必要但不充分的條件是 p 個(gè)自回歸系數(shù)之和要小于 1 ，即 ??pii1? １ AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 1 2 . 2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 例 1 2. 1 有 A R ( 1 ) 過(guò)程 xt = xt 1 + ut， 現(xiàn)改寫(xiě)為 ( 1 L ) xt = ut xt = 1? ut = ( 1 + L + L2 + 0. 2 16 L3 + … ) ut = ut + 0 .6 ut 1 + 6 ut 2 + 0. 2 16 ut 3 + … 平穩(wěn)的 A R ( 1 ) 過(guò)程變換成為無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程。 例 1 2. 2 有 A R ( 2 ) 模型 xt = 0. 6 xt 1 0. 1 xt 2+ ut，即 (1 0. 6 L + 0. 1 L2) xt = ut。其特征方程是 ( 1 0. 6 L + 0. 1 L2 ) = 0 [1 ( 0. 1 i ) L ] [ 1 ( 0 . 3 + 0. 1 i ) L ] = 0 特征方程的兩個(gè)根是， L1, L2 =ii?31??。 因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外，所以 xt是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 2 (MA) （ 1）移動(dòng)平均模型的定義 若時(shí)間序列 xt為它的當(dāng)期和滯后若干期隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的線(xiàn)性組合，即： 26 1 1 2 2t t t t q t qx u u u u? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 其中， 是參數(shù)， ut是均值為 0，方差為 的白噪聲過(guò)程， 稱(chēng)上式 為 q階移動(dòng)平均 (Moving Average， MA)模型，記為MA(q)。之所以稱(chēng)為“移動(dòng)平均”，是因?yàn)?xt是由 ut的加權(quán)和構(gòu)造而成，類(lèi)似于一個(gè)平均。 q??? , 21 ?2u? 由定義可知，任何一個(gè) q階移動(dòng)平均過(guò)程都是由 q+1個(gè)白噪聲過(guò)程的加權(quán)和組成，由于白噪聲過(guò)程是平穩(wěn)的，所以 任何一個(gè)移動(dòng)平均模型都是平穩(wěn)的 。 ? （ 2）移動(dòng)平均模型的可逆性 ? 對(duì)于 MA(1)模型： 27 11t t tx u u? ??? 給定條件 ，如果 MA(1)模型可以表述為 1|| 1 ?? 231 1 1 2 1 3t t t t tx x x x u? ? ?? ? ?? ? ? ? ?即 MA(1)模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型，我們稱(chēng)MA(1)模型具有 可逆性 。 i?由 AR(p)模型平穩(wěn)性可知， MA(P)模型具有可逆性的條件是 1。 更一般地， 任何一個(gè)可逆的 MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型 。 12. 2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 2. 移動(dòng)平均過(guò)程 對(duì)于 M A ( 1) 過(guò)程 E( xt) = E ( ut) + E( ? 1 ut 1) = 0 V ar( xt) = V ar( ut) + V ar( ? 1 ut 1 ) = ( 1 + ? 12 ) ?u2 4202450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0M A ( 1 ) 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 001 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 050 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05D ( Y ) MA ( 1) 時(shí)間序列 中國(guó)糧食產(chǎn)量 差分 序列 1 2 .2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 2. 移動(dòng)平均過(guò)程 不同 參數(shù)的 移動(dòng)平均 過(guò)程 。 3210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 1 ( t h e t a = 0 . 4 )432101234525 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 2 ( t h e t a = 0 . 9 ) 43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 3 ( t h e t a = 0 . 4 )43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 4 ( t h e t a = 0 . 9 ) 自回歸模型與移動(dòng)平均模型的關(guān)系 ? 以上的分析說(shuō)明，一個(gè)平穩(wěn)的 AR(p)模型可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均模型；一個(gè)可逆的 MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型。 ? AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問(wèn)題，不必考慮可逆性問(wèn)題。 ? MA(q)模型，只需考慮可逆性問(wèn)題，不必考慮平穩(wěn)性問(wèn)題。 30 1 2 . 2 時(shí)間序列模型的分類(lèi) 3. 自回歸移動(dòng)平均過(guò)程 由自回歸和移動(dòng)平均兩部分共同構(gòu)造的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，記為 A