【正文】 1 。 自回歸模型的平穩(wěn)性 1 2 . 2 時間序列模型的分類 由 A R ( 1) 過程 xt = ?1 xt 1 + ut , | ?1 | 1 有 xt = ut + ?1 ut 1 + ?12 xt 2 = ut + ?1 ut 1 + ?12 ut 2 + … 因為 ut 是一個白噪聲過程，所以對于平穩(wěn)的 A R ( 1) 過程 ， E( xt) = 0 V ar( xt) = E( xt)2 = E ( ut + ?1 ut 1 + ?12 ut 2 + …)2 = ?u2+ ?12?u2+ ?14?u2 + … =2111???u2 1 2 .2 時間序列模型的分類 不同 自 回歸系數(shù)的 A R ( 1 ) 序 列 xt = ?1 xt 1 + ut ,： 25 20 15 1050550 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 1 6420246850 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 . 8 3210123450 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 . 443210123450 1 00 1 50 2 00 2 50 3 00p h i = 0 1 2 . 2 時間序列模型的分類 對于自回歸過程 AR( p ) ，如果特征方程 ? ? L ) = 0 的 所有根的絕對值都大于 1 ，則該過程是一個平穩(wěn)的過程。 時間序列模型 12. 2 時間序列模型的分類 A R ( p ) 過程中 最常用的是 1 階自回歸過程 ： xt = ?1 xt 1 + ut 和 2 階自回歸過程 ： xt = ?1 xt 1 + ?2 xt 2 + ut 64202450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 001 0 02 0 01 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0 6D ( Y ) AR( 1) 序列 中國旅游人數(shù) 差分 序列 12. 2 時間序列模型的分類 與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問題 。 它們是 自回歸過程 （ AR ） 、移動平均過程 （ MA ） 、自回歸移動平均過程 （ A R M A ） 和單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 （ A R I M A ） 。 0( 1 ) ( 1 )nn n i iniL C L?? ? ??!! ( ) !inC i n i? ?Lc c? i j i jt t t t i t j( L L ) x L x L x x x?? ? ? ? ??滯后算子適用于結合律。 注意 ： （ 1 ） 對于 差分 算子 Dkd， 其 上 標 表示 差分 次 數(shù)， 其 下 標 表示 差 分階 數(shù)。 若 當 期 減 滯后一期變量則稱為 1 階差分 ，若 當 期 減 滯后 k 期變量則稱為 k 階差分 。 4. 24. 44. 64. 85. 05. 25. 45. 650 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0X 平穩(wěn)數(shù)據(jù)示例 常見的隨機過程 ： ? 白噪聲過程 ：對于隨機過程 { xt , t?T }, 如果 E(xt) = 0, Var (xt) = ? 2 ? ? , t?T。 用公式表述就是，對于一個隨機過程 xt ，如果其均值 ，方差 ，協(xié)方差 的大小只與 k的取值相關，而與 t不相關，則稱 xt為平穩(wěn)隨機過程 。隨機過程的平穩(wěn)性可以劃分為嚴（強 )平穩(wěn)和寬（弱）平穩(wěn)兩個層面。每一年的水位紀錄則是一個時間序列， {y11, y21, …, yT11, yT1}。隨機過程也可以簡稱為 過程 ，其中每一個 元素 Yt都是 隨機變量 。 按時間序列的統(tǒng)計特性，可將時間序列分為平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列。 ? 時間序列通常存在前后時間上的相依性，不一定是相鄰時刻，從整體上看，時間序列往往呈現(xiàn)出某種趨勢性或出現(xiàn)周期性變化的現(xiàn)象。而時間序列就是講這些觀測數(shù)據(jù)按照時間先后順序排列起來所形成的序列。 ? 時間序列具有如下幾個特點： ? 時間序列中數(shù)據(jù)的位置與時間有關，數(shù)據(jù)的取值隨時間的變化而變化。 01 , 0 0 02 , 0 0 03 , 0 0 04 , 0 0 05 , 0 0 06 , 0 0 07 , 0 0 01 9 9 2 1 9 9 4 1 9 9 6 1 9 9 8 2 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 4 2 0 0 6 2 0 0 8S A L E S1992年 1季度到 2023年 1季度批發(fā)與零售業(yè)增加值（ 2023年不變價格） 按照所研究問題的不同可以將時間序列進行如下分類： 按照研究對象的多少，時間序列也可以分為一元時間序列和多元時間序列。 時間序列分析 方法的發(fā)展過程 ? 基礎 階段 ： ? 1927年， AR模型 ? ， MA模型， ARMA模型 ? 核心 階段 ： ? 1970年，出版 《 Time Series Analysis Forecasting and Control》 ? 提出 ARIMA模型（ Box— Jenkins 模型） ? Box— Jenkins模型 實際上是主要運用于單變量、同方差場合的線性模型 ? 完善 階段 ： ? 異方差場合 ? Robert ， 1982年， ARCH模型 ? Bollerslov， 1986年 GARCH模型 ? 多變量場合 ? ， 1980年，向量自回歸模型 ? ， 1987年，提出了協(xié)整（ cointegration） 理論 確定性時間序列分析方法： 長期趨勢分析、季節(jié)變動分析、循環(huán)波動分析。將每一個元素的樣本點按序排列，稱為隨機過程的一個實現(xiàn)，即時間序列數(shù)據(jù)，亦即樣本。而在每年中同一時刻（如 t = 2時）的水位紀錄是不相同的。 ? 嚴（強）平穩(wěn)過程： 一個隨機過程中若隨機變量的任意子集的聯(lián)合分布函數(shù)與時間無關，即無論對 T的任何時間子集（ t1, t 2, …, tn）以及任何實數(shù) k, (ti + k) ?T, i = 1, 2, …, n 都有 F( x(t1) , x(t2), …, x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), … , x(tn + k) )成立，其中 F( ??? ?)( txE ??? 2)( ?txVar ???? 2),( kktt xxCov ?14 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對時間序列分析非常重要，經(jīng)典的時間序列回歸分析，都是假定數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) ? T , k ? 0 , 則稱 {xt}為白噪聲過程。 對于隨機過程 xt，一階差分可表示為 xt xt 1 = D xt = ( 1 L ) xt = xt L xt 其中 D 稱為一階差分算子 。 （ 2 ） 對于 滯后算子 Lk， 其 上 標 表示 滯后 階 數(shù)。 i j i jt t t i jL L x L x x????滯后算子的零次方等于 1。 1. 自回歸過程 如果一個線性隨機過程可表達為 xt = ? 1 xt 1 + ? 2 xt 2 + … + ? p xt p + ut 其中 ?i, i = 1, …, p 是 自 回歸參數(shù)， ut是白噪聲過程，則這個線性過程 xt 稱為 p 階自回歸過程，用 A R ( p ) 表示 。 對于一階自回歸過程 xt = ?1 xt 1 + ut ， 保持其平穩(wěn)的條件是特征方程? ? L ) = ( 1 ?1 L ) = 0 的根的絕對值必須大于 1 ，即滿足 | 1/ ?1 | ? 1 或 | ?1 | 1 。 為什么？ A R ( p ) 過程 的 特征多項式 若 滿足 上 條 件 ， 可以分解為 ? ( L ) = 1 ?1 L ?2 L2 … ?p Lp = ( 1 G1 L ) ( 1 G2 L ) ... ( 1 Gp L ) 其中 G1 1, G2 1, ... , Gp 1是特征方程 ? ( L )= 0 的根。 保證 A R ( p ) 過程平穩(wěn)的一個必要但不充分的條件是 p 個自回歸系數(shù)之和要小于 1 ，即 ??pii1? １ AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 1 2 . 2 時間序列模型的分類 例 1 2. 1 有 A R ( 1 ) 過程 xt = xt 1 + ut， 現(xiàn)改寫為 ( 1 L ) xt = ut xt = 1? ut = ( 1 + L + L2 + 0. 2 16 L3 + … ) ut = ut + 0 .6 ut 1 + 6 ut 2 + 0. 2 16 ut 3 + … 平穩(wěn)的 A R ( 1 ) 過程變換成為無限階的移動平均過程。 2 (MA) （ 1）移動平均模型的定義 若時間序列 xt為它的當期和滯后若干期隨機擾動項的線性組合，即： 26 1 1 2 2t t t t q t qx u u u u? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 其中， 是參數(shù)， ut是均值為 0，方差為 的白噪聲過程， 稱上式 為 q階移動平均 (Moving Average， MA)模型，記為MA(q)。 i?由 AR(p)模型平穩(wěn)性可知， MA(P)模型具有可逆性的條件是 1。 ? AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問題，不必考慮可逆性問題。 A R M A ( p , q ) 過程的 平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分 ，即 ? ( L ) = 0的 全部根取值在單位圓之外（絕對值大于 1 ）。 日本人口差分序列 1 2 . 2 時間序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 若 一個隨機過程 yt含有 d 個單位根，則其經(jīng)過 d 次差分之后 可以變換成為一個平穩(wěn)的自回歸移動平均過程。其中 ? ( L ) Dd 稱為 廣義自回歸算子 。 伯克斯 — 詹金斯 （ B ox Je n k i ns ） 積數(shù)十年理論與實踐的研究指出，時間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的，然而幸運的是經(jīng)濟時間序列常常具有這種特殊的齊次非平穩(wěn)特性。則過程 xt的期望是 E( xt) = ? / ? ( 1 ) = ? / ( 1 ?1 ?2 … ?p) = ? 期望 ? 和漂移項 ? 的關系 是： ? ( 1 ) ? = ? 過程 ， ? ( L ) xt = ? + ? ( L ) ut 可 以 寫為， ? ( L ) ( xt ? ) = ? ( L ) ut 因為打開 ( xt ? ) ，上式 寫為