【正文】 解 0?x ； ②當(dāng) 1??b 時， bb xx ??????? 1121)12( 2? . bb xx ???????? 112,011,02? 的解為 )11(lo g 2 bx ??? ； 第 8 頁 共 31 頁 令 ,0111011 ?????????? bbb bb x ??????? 112,01 時當(dāng) 的解為 )11(lo g 2 bx ?? ； 綜合①、②，得 1）當(dāng) 01 ??? b 時原方程有兩解： )11(lo g 2 bx ??? ； 2）當(dāng) 10 ??? bb 或 時，原方程有唯一 解 )11(lo g 2 bx ??? ； 3）當(dāng) 1??b 時，原方程無解。 例 4． 設(shè) a 、 b 、 c 為正數(shù)，且滿足 2 2 2a b c??新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 第 7 頁 共 31 頁 （ 1）求證：22l o g (1 ) l o g (1 ) 1b c a cab??? ? ? ?； （ 2）若4log (1 ) 1bca???，8 2log ( ) 3a b c? ? ?，求 a 、 b 、 c 的值 。 點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。 解：（ 1）原 式 = 41322132 )10000625(]10 2450)81000()949()278[( ????? 922)2917(21]10 2425 1253794[ ???????????； （ 2）原式 =51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa????????? 23231616531313131312)2( aaaaaabaabaa ????????? 。 ②函數(shù)圖像： 1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（ 0， 1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數(shù)函數(shù)都以 x 軸為漸近線（當(dāng) 10 ??a 時，圖象向左無限接近 x 軸，當(dāng) 1?a 時，圖象向右 無限接近 x 軸）； 3）對于相同的 )1,0( ?? aaa 且 ，函數(shù) xx ayay ??? 與 的圖象關(guān)于 y 軸對稱。 1）以 10 為底的對數(shù)稱常用對數(shù)， N10log 記作 Nlg ； 2）以無理數(shù) )( ??ee 為底的對數(shù)稱自然對數(shù)， Nelog ，記作 Nln ； ②基本性質(zhì)： 1）真數(shù) N 為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）； 2） 01log ?a ； 3） 1log ?aa ； 4）對數(shù)恒等式： Na Na ?log 。 （ 2）．冪的有關(guān)概念 ①規(guī)定： 1） ????? naaaa n (? N*； 2） )0(10 ?? aa ； n 個 3） ??? paa pp (1Q， 4） maaa n mnm ,0( ?? 、 ?n N* 且 )1?n 。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大。 二．命題走向 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。第 1 頁 共 31 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 4） — 基本初等函數(shù) 一．課標(biāo)要求 1．指數(shù)函數(shù) （ 1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景； （ 2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，能運用它們的性質(zhì)解決具體問題。 三．要 點精講 1．指數(shù)與對數(shù)運算 （ 1）根式的概念： ①定義：若一個數(shù)的 n 次方等于 ),1( ??? Nnna 且 ，則這個數(shù)稱 a 的 n 次方根。 ②性質(zhì)： 1） raaaa srsr ,0( ??? ? 、 ?s Q）； 2） raaa srsr ,0()( ?? ? 、 ?s Q）； 3） ?????? rbababa rrr ,0,0()( Q）。 ③運算性質(zhì)：如果 ,0,0,0,0 ???? NMaa 則 1） NMMN aaa lo glo g)(lo g ?? ； 第 3 頁 共 31 頁 2） NMNM aaa logloglog ??； 3） ?? nMnM ana (lo glo g R）。 ③函數(shù)值的變化特征： 10 ??a 1?a ① 100 ??? yx 時 ， ② 10 ?? yx 時 ， ③ 10 ?? yx 時 ① 10 ?? yx 時 ， ② 10 ?? yx 時 ， ③ 100 ??? yx 時 ， 第 4 頁 共 31 頁 （ 2）對數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù) )1,0(lo g ??? aaxy a 且稱對數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域為 ),0( ?? ； 2）函數(shù)的值域為 R； 3）當(dāng) 10 ??a 時函 數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) 1?a 時函數(shù)為增函數(shù)； 4）對數(shù)函數(shù) xy alog? 與指數(shù)函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 互為反函數(shù)。 點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進行指數(shù)冪運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運算，同時兼顧運算的順序。 題型 2：對數(shù)運算 例 3．計算 （ 1） 2( lg 2) lg 2 lg 50 lg 25? ? ?；（ 2） 3 9 4 8( l og 2 l og 2) ( l og 3 l og 3 )? ? ?； （ 3）)2( lg8 0 0 0lg5lg 23???? 。 證明：（ 1）左邊2 2 2l o g l o g l o g ( )a b c a b c a b c a b ca b a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( ) 2 2l o g l o g l o g l o g 2 1a b c a a b b c a b c ca b a b a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?； 解：（ 2）由4log (1 ) 1bca???得 14bca???， ∴ 30abc? ? ? ? ?????① 由8 2log ( ) 3a b c? ? ?得 2384a b c? ? ? ????? ?????② 由① ? ②得 2ba????????????????③ 由①得 3c a b??，代入 2 2 2a b c??得 2 (4 3 ) 0a a b??， ∵ 0a? ， ∴ 4 3 0ab??????????????④ 由③、④解得 6a? ， 8b? ，從而 10c? 。 點評：具有一些綜合性的指數(shù)、對數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對數(shù)問題的特點，題型非常廣泛，應(yīng)通過解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗。且??? ?? ?? 01 01xx有 1?x 。 點評：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。 因為 f(－ x)=f(x)，所以 f(x)為偶函數(shù)，故只需討論 f(x)在 [0， +∞）上的單調(diào)性。 點評：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。 點評：本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是1,0,1 ?? aa 兩種情況下函數(shù) xay? 的圖像特征。 題型 6：對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例 11．（ 1） 函數(shù) 2log 2 ?? xy 的定義域是（ ） A． ),3( ?? B． ),3[ ?? C． ),4( ?? D． ),4[ ?? （ 2）（ 20xx 湖北）設(shè) f(x)＝xx??22lg，則 )2()2( xfxf ?的定義域為（ ） A． ），（），（－ 4004 ? B． (－ 4,－ 1)? (1， 4) C． (－ 2,－ 1)? (1， 2) D． (－ 4,－ 2)? (2， 4) 解：（ 1） D（ 2） B。 解：記 22 3)()( aaxxg ?????? ，則 ?21log)( ?xf； （ 1）不一樣； 定義域為 R? 0)( ?xg 恒成立。 實數(shù) a 的取何值時函數(shù)的定義域為 ),3()1,( ????? ： 由已知得二次不等式 0322 ??? axx 的解集為 ),3()1,( ????? 可得 a231 ?? ，則a=2。 點評：該題主要考察復(fù)合對數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問題。 第 12 頁 共 31 頁 例 14． 設(shè) A、 B 是函數(shù) y= log2x 圖象上兩點 , 其橫坐標(biāo)分別為 a 和 a+4, 直線 l: x=a+2與函數(shù) y= log2x 圖象交于點 C, 與直線 AB 交于點 D。 由 S△ ABC= log2)4( )2(2??aaa1, 得 0 a2 2 － 2。 解： (1)由題意知： an=n+21,∴ bn=20xx(10a) 21?n 。 第 13 頁 共 31 頁 (3)∵ 5( 5 － 1)a10，∴ a=7 ∴ bn=20xx(107) 21?n 。 點評：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù) 函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識，以及三角形的面積解決了實際問題。 （ 2）若 a=2，則 )2(lo g)( 2 xxxf ?? 設(shè)4121 ??xx ， 則 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211 ???????????? xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf ?? 故 f(x)為增函數(shù)。 （ 1）若 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上都有意義，求 a 的取值范圍； （ 2）討論 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是否是接近的。 點評： 該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進行研究，轉(zhuǎn)化成含有對數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。 點評：對數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對稱變換 、翻折變換、伸縮變換等； 3．識圖與作圖：對于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。 而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變換 ， 這也是個難點 。 ③ 翻折變換： Ⅰ、函數(shù) | ( )|y f x? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像的 x 軸下方部分沿 x 軸翻折到 x 軸上方，去掉原 x 軸下方部分，并保留 ()y f x? 的 x 軸上方部分即可得到 ； y=f(x)cba oyx