高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-2第三章推理與證明第4課時(shí)反證法精品學(xué)案-wenkub
2022-11-30 23:15:06 本頁面
【正文】 設(shè)不成立 ,所以原方程的解是唯一的 . 【小結(jié)】 有關(guān)唯一性命題的證明問題 ,可考慮用反證法 .“唯一 ”就是 “有且只有一個(gè) ”,其反面是 “至少有兩個(gè) ”. 用反證法證明至多、至少等形式的命題 實(shí)數(shù) a,b,c,d 滿足 a+b=c+d=1,ac+bd1,求證 :a,b,c,d 中至少有一個(gè)負(fù)數(shù) . 【方法指導(dǎo)】 結(jié)論含有的 “至少 ”提示 我們可用反證法 ,注意 “至少有一個(gè) ”的反面是 “一個(gè)也沒有 ”. 【解析】 假設(shè) a,b,c,d 都是非負(fù)數(shù) ,則 1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 這與已知 ac+bd1 矛盾 ,所以 a,b,c,d 至少有一個(gè)負(fù)數(shù) . 【小結(jié)】 解決本題的關(guān)鍵是假設(shè) a,b,c,d 都是非負(fù)數(shù)后 ,通過怎樣的途徑來找矛盾 .本題給出了兩個(gè)條件 “a+b=c+d=1,ac+bd1”,顯然應(yīng)將這兩個(gè)條件聯(lián)系起來 ,這樣很自然地想到利用 (a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)建立兩個(gè)已知的關(guān)系 ,從而為找矛盾奠定基 礎(chǔ) . 已知 a,b,c∈ (0,1),求證 :(1a)b,(1b)c,(1c)a 不能同時(shí)大于 . 【解析】 假設(shè)三式同時(shí)大于 , 即 (1a)b,(1b)c,(1c)a, ∵ a,b,c∈ (0,1), ∴ 三式同向相乘得 (1a)b(1b)c(1c)a, 又 (1a)a≤()2=, 同理 ,(1b)b≤,(1c)c≤, ∴ (1a)b(1b)c(1c)a≤,這與假設(shè)矛盾 ,故原命題得證 . 已知 a 與 b 是異面直線 .求證 :過 a 且平行于 b 的平面只有一個(gè) . 【解析】 如圖 ,假設(shè)過直線 a且平行于 直線 b 的平面有兩個(gè) ,分別為平面 α和 a上取點(diǎn) A,過 b和 A 確定一個(gè)平面 γ,且 γ與 α、 β分別交于過點(diǎn) A的直線 c、 d,由 b∥ α知 b∥ c,同理 b∥ d,故 c∥ d,這與 c,d 相交于點(diǎn) A 矛盾 ,故假設(shè)不成立 ,所以原結(jié)論成立 . 若 a、 b、 c均為實(shí)數(shù) ,且 a=x22y+,b=y22z+,c=z22x+.求證 :a、 b、 c 中至少有一個(gè)大于 0. 【解析】 假設(shè) a、 b、 c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0, 所以 a+b+c≤0, 而 a+b+c =(x22y+)+(y22z+)+(z22x+) =(x22x)+(y22y)+(z22z)+π =(x1)2+(y1)2+(z1)2+π3≥π30. 這與 a+b+c≤0 矛盾 ,故 a、 b、 c 中至少有一個(gè)大于 0. ( ). ① 結(jié)論相反的判斷即假設(shè) 。. 容易看出 1,下面證明 1+. 要證 1+,只需證
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