高三數(shù)學立體幾何的思考-wenkub
2022-11-23 01:24:34 本頁面
【正文】 15 (Ⅰ )由于 α ⊥ β，且 AC⊥ l，則 AC⊥ β，建立如圖所示空間直角坐標系 . 故直線 AB與 CD所成的角為 450. AC⊥ l于 C， BD⊥ l于 D， 則 AC=1， BD=1，AD= ， CD= 所以 A(0， 0， 1)， B(1， － ， 0)， C(0， 0， 0)， D(0， － ， 0)， 解法一 : 向量法 l β α D C B A x y z 如圖，邊長為 2的線段 AB夾在直二面角 αlβ的兩個半平面內(nèi)， A∈ α， B∈ β，且 AB與平面 α、 β所成的角都是 300 ， AC⊥ l垂足為 C， BD⊥ l，垂足為 D. (Ⅰ ) 直線 AB與 CD所成的角； 16 (Ⅰ )在平面 β內(nèi)過點 B作BE∥ DC且 BE=DC，連結(jié)CE ， EA， 則四邊形 BECD是矩形，所以 ∠ ABE就是直線 AB與 CD所成的角 . ∵ AB=2， α⊥ β， AC⊥ l， AC ?α， ∴ AC⊥ β. ∵ CE ⊥ BE， ∴ AE ⊥ BE， ∴ ∠ ABC=300 ,∴ AC=1,同理 BD=1,∴ CE=1, AE= ∴ ∠ ABE=450, 故直線 AB與 CD所成的角為 450. 在 Rt△ AEB中， sin ∠ ABE= 解法二： 平移法 解法三 :補形法 把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系 .l β α D C B A E 17 B 例 長方體 ABCDA1B1C1D1， AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求異面直線 A1C1與 BD1所成的角 . 解法一（平移法）： 如圖，連 B1D1與A1C1 交于 O1，取 BB1的中點 M，連 O1M，則 O1M??D1B， O1 M 于是 ?A1O1M就是異面直線 A1C1與 BD1所成的角（或其補角），連 A1M，在 ?A1O1M中 D B 1 A 1 D 1 C 1 A C 由余弦定理得 ?A1C1與 BD1所成的角為 解法二（補形法）：如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面 BC1的方體 B1F，連結(jié) A1E， C1E，則 ?A1C1E為 A1C1與 BD1所成的角 (或補角 )， 18 在 ?A1C1E中， 由余弦定理得 ?A1C1與 BD1所成的角為 F1 E F E1 B D B 1 A 1 D 1 C 1 A C 解法三（向量法）： A1 D1 C1 B1 A B C D x y z 19 l β α D C G F B A （ Ⅱ ） ∵ AC⊥ β, AC 平面ABC, ∴ 平面 BAC⊥ 平面 BDC, 且交線是 BC. 過 D點作 DF ⊥ BC，垂足為 F，則 DF ⊥ 平面 BAC. 過 F點作 FG ⊥ A B，垂足為 G,連結(jié) DG，則 DG ⊥ AB. 所以 ∠ DFG二面角 CABD的平面角． 故二面角 CABD所成平面角的余弦值為 解法一： 垂線法 [廣州一模 ] 17.(本小題滿分 14分） 如圖 , 邊長為 2的線段AB夾在直二面角 αlβ的兩個半平面內(nèi) ,A∈ α, B∈ β，且AB與平面 α、 β所成的角都是 300 , AC⊥ l垂足為 C， BD⊥ l，垂足為 D. （ Ⅱ )求二面角 CABD所成平面角的余弦值．
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