高三文科導數(shù)題型歸納-wenkub
2022-11-13 19:39:55 本頁面
【正文】 aax 不等式 ()f x a? ? 恒成立，求 a 的取值范圍 . （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（Ⅰ） ? ? ? ?22( ) 4 3 3f x x ax a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? 01a?? 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ a,3a） 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞減區(qū)間為（－ ? ， a）和（ 3a， +? ） ∴當 x=a 時， )(xf 極小值 = 。39。 三、題型 二 ：根的個數(shù)問題 題 1 函數(shù) f(x)與 g(x)（或與 x 軸） 的交點 ======即方程根的個數(shù)問題 解題步驟 第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”； 第二步：由趨勢圖 結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）； 主要看極大值和極小值與 0 的關(guān)系； 第三步：解不等式（組）即可； 例 已知函數(shù) 232 )1(31)( xkxxf ???， kxxg ??31)(，且 )(xf 在區(qū)間 ),2( ?? 上為增函數(shù)． （ 1） 求實數(shù) k 的取值范圍； （ 2） 若函數(shù) )(xf 與 )(xg 的圖象有三個不同的交點，求實數(shù) k 的取值范圍． 解：（ 1）由題意 xkxxf )1()( 2 ???? ∵ )(xf 在區(qū)間 ),2( ?? 上為增函數(shù)， ∴ 0)1()( 2 ????? xkxxf 在區(qū)間 ),2( ?? 上恒成立 （分離變量法） 即 xk ??1 恒成立，又 2?x ，∴ 21??k ，故 1?k ∴ k 的取值范圍為 1?k （ 2）設312 )1(3)()()( 23 ??????? kxxkxxgxfxh， )1)(()1()( 2 ???????? xkxkxkxxh 令 0)( ?? xh 得 kx? 或 1?x 由（ 1）知 1?k ， ①當 1?k 時， 0)1()( 2 ???? xxh ， )(xh 在 R上遞增，顯然不合題意? ②當 1?k 時， )(xh ， )(xh? 隨 x 的變化情況如下表： x ),( k?? k )1,(k 1 ),1( ?? )(xh? ? 0 — 0 ? )(xh ↗ 極大值3126 23 ??? kk ↘ 極小值 21?k ↗ 由于 021??k，欲使 )(xf 與 )(xg 的圖象有三個不同的交點，即方程 0)( ?xh 有三個不同的實根，故需 03126 23 ???? kk ，即 0)22)(1( 2 ???? kkk ∴??? ???? 02212 kkk ，解得 31??k 綜上，所求 k 的取值范圍為 31??k 根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。( ) 0fx? 的 x 的取值范圍為 (1,3) ，求：（ 1） ()fx的解析式；（ 2）若過點 ( 1, )Pm? 可作曲線 ()y f x? 的三條切線，求實數(shù) m 的取值范圍． （ 1）由題意 得： 239。( ) 0fx? 因此 ()fx在 0 1x? 處取得極小值 4? ∴ 4abc? ? ?? ① ， 39。 需： ( 1) 0(2) 0gg ???? ?? 2 3 1 2 9 01 6 1 2 2 4 9 0mm? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 1611mm???? ??? 故： 11 16m? ? ? ； 因此所求實數(shù) m 的范圍為： ( 11,16)? 題 3： 已知 ()fx在給定區(qū)間上 的極值點個數(shù) 則有 導函數(shù) =0 的根的個數(shù) 解法：根分布或判別式法 例 解：函數(shù)的定義域為 R （ Ⅰ ） 當 m＝ 4 時， f (x)＝ 13x3－ 72x2＋ 10x， ()fx? ＝ x2－ 7x＋ 10，令 ( ) 0fx? ? ， 解得 5,x? 或 2x? . 令 ( ) 0fx? ? ， 解得 25x?? 可知函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ,2)?? 和（ 5，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為 ? ?2,5 ． （ Ⅱ ） ()fx? ＝ x2－ (m＋ 3)x＋ m＋ 6, 要使 函數(shù) y＝ f (x)在（ 1，＋∞）有兩個極值點 , ()fx?? ＝ x2－ (m＋ 3)x＋ m＋ 6=0 的根在（ 1，＋∞） 根分布 問題： 則2( 3 ) 4( 6) 0 。 ?xf 解得 01 ??? xax 或，令 0)(39。()fx + 0 ()fx ↗ 極大 ↘ 因此 )0(f 必為最大值 ,∴ 50?）（f 因此 5?b ， ( 2) 16 5 , (1 ) 5 , (1 ) ( 2)f a f a f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 11516)2( ?????? af ，∴ 1a ，∴ .52( 23 ??? xxxf ） （Ⅱ）∵ xxxf 43)( 2 ??? ，∴ 0( ??? txxf ） 等價于 043 2 ??? txxx ， 令 xxxttg 43)( 2 ??? ，則問題就是 0)(g ?t 在 ]1,1[??t 上恒成立時，求實數(shù) x 的取值范圍， 為此只需??? ??? 0)1 0)1(（gg，即??? ?? ?? 005322xx xx， 解得 10 ??x ，所以所求實數(shù) x 的取值范圍是 [0， 1]. （根分布與線性規(guī)劃例子） （ 1） 已知函數(shù) 322()3f x x ax bx c? ? ? ? (Ⅰ ) 若 函數(shù) ()fx在 1?x 時有極值 且在函數(shù)圖象上的點 (0, 1) 處的切線與直線 30xy?? 平行 , 求)(xf 的解析式； (Ⅱ ) 當 ()fx在 (0, 1)x? 取得極大值且在 (1, 2)x? 取得極小值時 , 設點 ( 2, 1)M b a??所在平面區(qū)域為 S, 經(jīng)過原點的直線 L 將 S 分為面積比為 1:3 的兩部分 , 求直線 L 的方程 . 解 ： (Ⅰ ). 由 2( ) 2 2f x x ax b? ? ? ?, 函數(shù) ()fx在 1?x 時有極值 , ∴ 2 2 0ab? ? ? ∵ (0) 1f ? ∴ 1c? 又∵ ()fx在 (0, 1) 處的切線與直線 30xy?? 平行 , ∴ (0) 3fb? ? ?? 故 12a? ∴ 3221( ) 3 132f x x x x? ? ? ?
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