高階偏導(dǎo)數(shù)ppt課件-wenkub
2023-05-22 12:10:34 本頁面
【正文】 ?? ua?????? ua 222同理可得 ??? 22xu22???u?????? u2222???? u將上述偏導(dǎo)數(shù)帶入原方程 , 得到 . 0 2???? ?? u )( 2Cu ? 利用算子可以方便地表示 高階微分 泰勒公式 高 階 微 分 .dddd 2211nnxxuxxuxxuu ?????????? ?.dddd 222112 uxxxxxxu nn ?????????????????? ?若 ,),( 11 Cxxfu n ?? ?則它的全微分 存在 ,且 ud 若 ,),( 21 Cxxfu n ?? ?則 d ,d 1 的全微分故 uCu ? d )d ( d 2 ，且的二階微分，記為存在，稱為 ufu ),( 1 階的微分：有直到，則一般地，若 kfCxxfu kn ?? ?.)(ddd 1 uu kk ?? dddd 2211uxxxxxxuknnk?????????????????? ?1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 ………… 系數(shù)： uyyxxu22 ddd??????????????uyyyxyxxx ?????????????????? 2222222ddd2d2222222ddd2d yy uyxyx uxx u ?????????? 例 解 . d ),( 22 uCyxfu ，求設(shè) ??uyyxxu22 ddd??????????????2222222ddd2d yy uyxyx uxx u ???????????????????????????????????????yxyuxyuyxuxuyxdd)d (d222222 稱為二階 Hessian 矩陣 二階微分的矩陣表示： ?u3d uyyxx3dd ?????????????333d xxu??? 333d yyu???yxyx u dd3 223???? 223dd3 yxyx u????又 ,633???xu ,623????? yx u ,623???? yx u 633???yu故 ?u3d )ddd3dd3(d6 3223 yyxyxx ??? 例 解 . d )(3 333 uyxxyyxu ，求設(shè) ???? 泰勒公式 與求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法類似 , 我們想借助一元函數(shù)的泰勒公式來建立 多元函數(shù)的泰勒公式 . 首先 , 將一元函數(shù)的泰勒公式寫成微分形式： ?)(xf ?)( 0xf ??? xxf )( 0 ?? ?? nn xxfn )(!10)( )(xRn?? )( 0xf ?)(d 0xf ?? ?)(d!10xfnn )(xRn?? )( 0xf ???)(d!1 01xfk knk)(xRn x 為自變量時 ?)(xf ?)( 0xf ???)(d!101xfkknk)(xRn)(xRn )(d!)1(101 xxfnn ????? ?)10( ?? ? 運用點函數(shù)進行推廣 定理 (多元函數(shù)的泰勒公式 ) ?)( Xf ?)( 0Xf ???)(d!1 01Xfk kmk)( XR m拉格朗日余項 . 該公式稱為多元函數(shù)泰勒公式的微分形式 )U( ))(U()( 001 內(nèi)有，則在中，設(shè)在 XXCXfR mn ?? )10
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