微專題-圓錐曲線中的最值問題(解析版)-wenkub
2023-04-09 01:53:46 本頁面
【正文】 圓方程為 ，（）的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，點(diǎn)P在為橢圓上的任意一點(diǎn)，且|PF1|=4|PF2|,求此橢圓的離心率e的最小值?解：橢圓的離心率e的最小值為例3: 已知P點(diǎn)在圓x2+(y2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|PQ|的最大值。變式1: 設(shè)P是橢圓+= 1 ( a 1 ) 短軸的一個(gè)端點(diǎn), Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求| PQ | 的最大值. 解法1: 依題意可設(shè) P (0, 1 ), Q (x , y ), 則| PQ | = . 又因?yàn)镼在橢圓上, 所以 = (1) . = (1) + －2y + 1 = (1)－2y + 1 + = (1) + 1 + . 因?yàn)?| y | ≤ 1, a 1, 若a ≥, 則≤1, 當(dāng)y = 時(shí), | PQ | 取最大值。OFQ =q （2）設(shè)所求的雙曲線方程為∴，∴又∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，最小，此時(shí)Q的坐標(biāo)是或 ，所求方程為 【精要?dú)w納】圓錐曲線的最值問題，常用以下方法解決：（1）當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；（2）范圍實(shí)質(zhì)為一個(gè)不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？例2中可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建?！菊n后訓(xùn)練】1．已知P是橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），O為原點(diǎn)，求四邊形OAPB的面積的最大值 2．給定點(diǎn)A(2,2)，已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 。求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。 ②當(dāng)時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸， 綜合①②知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為。 解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F（0，1），且PQ⊥MN，直線PQ、MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過點(diǎn)F（0，1），故PQ方程為。 解：，設(shè)，則
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