【正文】 滿足屬于滿足??14/51 169。 0mmpv ??? ),( ( , ) m a x ( ) , . :????nxRv p m u x s t p x mnRx xu??)(maxm a x ( ) , . :???nxRu x s t p x m )()( pxmxuL ??? ?* ( , )( , ) ( , ) ( . )x x p mv p m L x λ λ 2 3mm ??? ????0px xuxxL iii???????? ?? )(),( 0pi ? 0xxui??? )(0??0m mpv ???? ?),(12/51 169。 ),(),(),( mpvmpvttmtpv 0 ?? ( , ) [ m a x ( ) , . : ]????nxRv tp tm u x s t tp x tm[ m a x ( ) , . : ]????nxRu x s t p x m( , ) [ m a x ( ) , . : ] ( , )??? ? ? ?nxRv tp tm u x s t p x m v p m11/51 169。這是很自然的，因為如果 u(x)是連續(xù)的，那么其極大化了的值也是連續(xù)的。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、間接效用函數(shù)的定義 ? 效用最大化問題的目標函數(shù) 直接表明了效用與消費量之間的關系，因此又被稱為 直接效用函數(shù) ，根據(jù)直接效用函數(shù)和預算約束所得到的最優(yōu)解 反映了在不同價格和收入水平下消費者對商品的需求，將效用最大化的最優(yōu)解帶入直接效用函數(shù)所得到的函數(shù)被定義為 間接效用函數(shù) ，記為： ，即： )(xuu ?),( mpx?)],(*[),( mpxumpv ?( , ) m a x ( * ) ( . ).:?????nxRv p m u x 2 2s t p x m8/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 效用最大問題與馬歇爾需求函數(shù) ? 效用最大化問題的基本形式 ? 效用最大化問題的均衡解 ? 馬歇爾需求函數(shù) 4/51 169。 消費者最優(yōu)選擇問題可以歸結為消費者在既定收入約束條件下的效用極大化問題或為既定效用水平下的支出極小化問題 ， 這兩個問題互為對偶問題 ， 對前一問題的求解所得到的需求函數(shù)為馬歇爾需求函數(shù) ， 而通過對后一個問題的求解所得到的需求函數(shù)為?？怂剐枨蠛瘮?shù) 。1/51 169。 通過本章的學習 ， 你可以了解： 消費者效用極大化問題； 消費者支出極小化問題： 對偶原理； 需求的比較靜態(tài)分析； 需求彈性 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、效用極大化問題的基本形式 . ( . )m a x ( )????nxRs t p x m 2 1ux5/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、間接效用函數(shù)的性質 如果直接效用函數(shù)在上是連續(xù)且嚴格遞增的 ， 那么間接效用函數(shù)就一定具有以下幾個性質： ? 性質 1： 在 上是連續(xù)的 [1]； ? 性質 2： 是關于 的零次齊次函數(shù)； ? 性質 3： 是關于 m的嚴格遞增函數(shù)； ? 性質 4： 是關于 p的嚴格遞減函數(shù) ? 性質 5： 對價格 p是擬凸 ? 性質 6： 滿足羅伊恒等式 （ Roy’s identity） [1] 表示預算集的定義域，其中：表示價格的定義域，下標 “ ＋＋ ” 是指嚴格為正，沒有一維價格為 0， n表示有 n維價格； 表示收入的定義域，收入可以為 0。 10/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質 3： ? 即要證明 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質 4： ? 即要證明 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 羅伊恒等式 （ Roy’s identity） ? 羅伊恒等式是說：若間接效用函數(shù) v(p,m)已知，且連續(xù)可導，則根據(jù)其可以直接推導出馬歇爾需求函數(shù) x(p,m)， 即： ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關系。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 消費者最優(yōu)選擇：支出最小化問題 上一節(jié)討論的是消費者在既定的收入約束下如何選擇商品，以使自己獲得最大的效用。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、支出函數(shù)的定義 ? 將支出最小化問題的解代如其目標函數(shù)而得到的函數(shù)即為支出函數(shù)，記為 e(p,u): ),(),( upxpupe h??( , ) m in . : ( ) ( . )n 0xRe p u p x s t u x u 2 1 0?? ? ?＋即： ，22/51 169。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 1 1p? ????24/51 169。本節(jié)我們將給出與這一對偶問題相關的幾個重要的恒等式，以便將間接效用函數(shù)、支出效用函數(shù)、馬歇爾需求函數(shù)和希克斯需求函數(shù)有機地聯(lián)系起來。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(m a x),(..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..m i nmpvpxxmpvutspxhh ??? ( , ) ( , ( , ) )hx p m x p v p m??28/51 169。 ? 恒等式 2的證明 ： 設 是最小支出問題 的解，即 將這樣定義的支出水平置換到最大效用問題的約束條件中，只需證明 仍然是最大效用問題 的解即可。 ( , )hx x x p u?且 ( 39。)hu x p u u x u x( , )hx p um a x ( ). . ( , )????????u u xs t p x e p u? ? ? ? ?( 1 ) ( 39。39。 39。所以一定有： mmpvpe ?)],(,[)],(,[),( mpvpxmpx hii ? ix ( p,m) hix [ p ,v( p , m )]ix ( p,m)hix [ p ,v( p , m )] e( p ,v( p , m ))mmpvpe ?)],(,[),(m a x),(**..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????mmpvpepxmpvpxxmpvutspxhh?????)),(,(m i n)),(,(),(..m i n?31/51 169。所以一定有： ? 一個例題：見例 uupepv ?)],(,[)],(,[),( upepxup